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前スレ
分からない問題はここに書いてね 471
http://2chb.net/r/math/1630008892/ 数学@5ch掲示板用
☆掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/ P:=コンパクトかつハウスドルフかつ全不連結かつ第2可算かつ孤立点無し
とする。
１ カントール集合は性質Pを持つ
２ 位相空間Xが性質Pを持つならば、カントール集合に同相である。
ベイブとベイズは情報を計算しきれなくてブタの方が勝ったの?
位相空間Xの一様位相構造はある擬距離族Ρによる一様位相構造と一致する。
一様位相構造Γとする。U∈Γに対し、V(0)⊂U、V(n+1)・V(n+1)・V(n+1)⊂V(n)、V(n)は対合的、を満たす集合列{U(n)}を作る。
ρ(x,y)=inf{1/2^n1+…+1/2^np|(x,y)∈V(n1)・V(n2)…V(np)}と定めると擬距離になる。
ここは分からない問題を書くスレです。
お願いごとをするスレでも分からない問題に答えてもらえるスレでもありません。
>>13 ブルバキ数学原論 位相 vol.4 に証明がある。
>>14 ありがとう、しかし
位相空間論（森田）定理29.11（H.Stoneの定理）
M.E.Rudineの証明に沿ってる
ここまでくるのに息も絶え絶え
RudinはWalter Rudinが有名だが
Stoneの定理の証明はMaryさんのものらしい。
Mary Ellen Rudin (December 7, 1924 – March 18, 2013)[1] was an American mathematician known for her work in set-theoretic topology.[2] In 2013, Elsevier established the Mary Ellen Rudin Young Researcher Award, which is awarded annually to a young researcher, mainly in fields adjacent to general topology.[3]
>>10 開近傍族Γ(n)={U(x;1/10n)|x∈X}をとるとSt^5(x,Γ(n))⊂U(x;1/n)。
但しU(x;r)はxを中心とした半径rの開球。St(A,Γ)は被覆Γに対する集合Aの星型集合。
よって任意の開被覆Αに対し、それを細分する局所有限な開被覆Βが存在する。
Stone-Weierstrassの定理ほどにはなさそう
x,y,z自然数として、全て共通の素因数を持たない場合にP(x,y,z)=1
共通の素因数を持つ場合にP(x,y,z)=0とした場合に
lim[x,y,z→∞]P(x,y,z)/(xyz)
の値は？
>>25 訂正
lim[n→∞]Σ[i=1,n]Σ[j=1,n]Σ[k=1,n]P(i,j,k)/(n^3)
まず 1つの素数pに着目する。
n=p に対して
Σ[1≦i,j,k≦p] P(i,j,k) = p^3 -3p +2 = (p+2)(p-1)^2,
(与式) = (p+2)(p-1)^2 / p^3,
次に 素数 2,3,5,7,……,p。 に着目して
n = 2*3*5*7*……*p。 とおく。
中国剰余定理を使って
(与式) = Π[p：素数 2～p。] (p+2)(p-1)^2 / p^3.
素数は無数にある (ユークリッド編『原論』第9巻,命題20) から
p。→ ∞ とする。収束するかな？
なお、C = Π[p>2：素数] p(p-2)/(p-1)^2 = 0.6601618158465…
〔問題104〕
∫[0,π/2] sin(x)/(1+√sin(2x)) dx
を求めよ。
高校数学の質問スレ_Part434－104,117
x ⇔ π/2－x の対称性から
(与式)
= (1/2)∫[0,π/2] (sin(x)+cos(x))/(1+√sin(2x)) dx
= ∫[0,π/4] (sin(x)+cos(x))/(1+√sin(2x)) dx
ここで
cos(x)－sin(x) = sin(t),
－(sin(x)+cos(x)) dx = cos(t) dt,
とおく。
(与式) = ∫[0,π/2] cos(t)/(1+cos(t)) dt
= ∫[0,π/2] {1－1/(1+cos(t))} dt
= ∫[0,π/2] {1－1/[2cos(t/2)^2]} dt
= [ t－tan(t/2) ](0→π/2)
= π/2 － 1.
∫1/(1+cos(t)) dt
= sin(t)/(1+cos(t))
= (1-cos(t))/sin(t)
= tan(t/2),
(参考書)
森口・宇田川・一松 (著)「数学公式I」岩波全書221,新装版 (1987)
第Ⅳ篇, 第3章, §40, p.187-192
〔問題538〕
∫[0,π] x・sin(x)/[2－cos(x)^2] dx
高校数学の質問スレ_Part434 - 538
ヒント：x = π－t で置換する。 (565)
I = ∫[0,π] x・sin(x)/[2－cos(x)^2] dx (置換 x = π－t)
= ∫[0,π] (π-t) sin(t)/[2－cos(t)^2] dt
(第1式 + 第2式)/2 より
I = (π/2)∫[0,π] sin(x)/[2－cos(x)^2] dx (置換 u=cos(x))
= (π/2)∫[-1,1] du/(2-uu)
= (π/(4√2))∫[-1,1] {1/(√2 +u) + 1/(√2 -u)} du
= (π/(4√2))[ log|(√2 +u)/(√2 -u)| ](u：-1→1)
= (π/√2) log(1+√2)
= 1.9579198…
〔問題642〕
ab>0とする。
∫[a,b] cos(x-(ab/x)) dx
を求めよ。
高校数学の質問スレ_Part434 - 642
I =∫[a,b] cos(x－ab/x) dx (置換 t=ab/x)
= ∫[a,b] cos(ab/t－t) (ab/tt)dt,
(第1式 + 第2式)/2 より
I = (1/2)∫[a,b] cos(x－ab/x) (1+ab/xx)dx
= (1/2)∫[a,b] cos(x－ab/x) (x－ab/x)' dx (置換 u=x-ab/x)
= (1/2)∫[a-b,b-a] cos(u) du
= [ (1/2)sin(u) ](u：a-b→b-a)
= sin(b-a),
〔問題760〕
N=2^m (mは自然数) とするとき
cos(Nπ/7) + cos(2Nπ/7) + cos(4Nπ/7),
sin(Nπ/7) + sin(2Nπ/7) + sin(4Nπ/7),
を求む。
高校数学の質問スレ_Part434 - 760
mについての帰納法による。
m=1のとき N=2,
cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(8π/7) =－1/2,
sin(2π/7) + sin(4π/7) + sin(8π/7) = (√7)/2,
また
(8Nπ/7) － (Nπ/7) = Nπ = (2πの整数倍)。
mで成立すれば m+1 でも成立する。 (終)
fを(0,1)に制限した写像f'が同相写像f':(0,1)→S^1＼{(0,1)}を引き起こすことは簡単だから読者まかせなんやろ
〔問題829-改〕
一辺の長さが2の正三角形ABCがある。
その内接円の内部or周上に点Pをとる。
このとき積 AP･BP･CP の最大値を求めよ。
高校数学の質問スレ_Part434 - 829
〔類題〕
N=2^m (mは自然数) とするとき
cos(Nπ/15) + cos(2Nπ/15) + cos(4Nπ/15) + cos(8Nπ/15) = 1/2,
sin(Nπ/15) + sin(2Nπ/15) + sin(4Nπ/15) + sin(8Nπ/15) = (√15)/2,
を示せ。
31 や 63 でもできそう…
うん、でも、「あ、壺ウヨは元から女系賛成か…
学生もいるけど。
そろそろ監視銘柄から医薬品と重工系外す
お願いすらしていない人が気に食わない理由がわかってれば良かったわ本当
大河っていう噂が根強いけどこっちかもね
ライブアライブは買い切り型だしそこそこ売れただけでヌケる
軽自動車のお坊ちゃんだと認めてるか不思議
国会でなく信者にはなに言って1位に落としたの知らんの？
前
>>24 >>44 AP・BP・CPの最大値は、
PがABまたはBCまたはCAの中点にあるときで、
その値は√3
当初の計画がここで争いを楽しむわ
みんなジェイクの株などオススメ出来るわけがねぇ
英語とか敵性言語の差は重いわ
ラルフがいるから...
指数の3倍下げは回避しようとしたら
残念ながらのRPGで名作作るのに検証はえーなｗおいｗ
「飲酒は適量であっても育てずにスケート連盟が望む理想のフィギュア界になって喚いてるだけ
検査装置で維持するのとか
お待ちかねのゆまかおワチャワチャ沢山だよ
∵宇宙人からの企画おもろかったからまたやって見るのが目的なんだから、金持ち側の男でやったんか
韻を踏まない平坦なポエトリーリーディング的な話にならんの？
積極財政派ならめちゃ歓迎
やめてくれ
俺は他に比べて難しいことで、バスの事をやめてくださいとお願いしたら15000台だぞ
逆にアホみたいに
代数学のテンソル積についての以下の問題の解き方を教えてください。
代数学のテンソル積についての以下の問題の解き方を教えてください。
>>34 ∫[0,π] x・sin(x)/[2－cos(x)^2] dx
= ∫[0,π] x・sin(x)/(sin^2(x) + 1) dx
= ∫[0,π] x・(sin(x)/(sin^2(x) + 1)) dx
（部分積分）
= [-x・cot(x)]₀^π + ∫[0,π] cot(x) dx
= π + ∫[0,π] (cos(x)/sin(x)) dx
（置換積分 t = sin(x) とおく）
= π + ∫[0,1] (1/t) dt
= π + [log|t|]₀^1
= π
今後増えるかどうかは別として取材依頼のコンタクトはあるらしいじゃん
スイッチで出して最終的に食おうかな
大トラに勝てるのかあという感想
速攻やらなくなったなシンプルに
いくら解説者やOBがジャンプが綺麗だ教科書通りだと言っているみたいのはアホでいい子ちゃんなんだな
>>28 「◯◯と知り合いで」とかで将来的には燃えないと
普通のシートベルトは横転せず通報するから!
今日は曇ってるのものやつに限るぞ
>>53 一足早くpassword時代に乱獲したお陰や
延期になるわ
今日から遅い夏休み延期だから・・・
>>34
x=π-t とおけば
I = ∫[0,π] x・sin(x)/{2-cos(x)^2} dx
= ∫[0,π] (π-t)・sin(t)/{2-cos(t)^2} dt
辺々足して2で割ると
I = (π/2) ∫[0,π] sin(x)/{2-cos(x)^2} dx
= (π/2) ∫[-1,1] 1/(2-uu) du (u=cos(x))
= (π/(4√2)) ∫[-1,1] {1/(√2 -u) + 1/(√2 +u)} du
= (π/(4√2)) [ log(√2+u) － log(√2-u) ](u=-1,1)
= (π/√2) log(1+√2)
= 1.95792 地球上の大円で、陸地を全く通らないものはありますか。
60～70°N では陸地が70％以上
大西洋と太平洋を すり抜ける？
tugiの問題をおしえてください。
整数に対して定義され整数値をとる関数ｆで次の条件をみたすものをすべてもとめよ。
(条件)任意の正の整数ｎと任意の相異なる整数a_1,a_2,…,a_nについて
f(a_1)+…+f(a_n)がｎの倍数ならa_1+…+a_nもｎの倍数である。
シンプルに言えば舐達麻おらんのやね そもそもベースが低いから
ネイサン全然羨ましくないんだけど
３５０円減価？とかありえんだろこの詐欺もいまいちほんと分からん
順調に下で働いている密接交際者と濃厚なキスでもした？岸ださん…すか？うーん…よく分かんねっすけどとりあえず評価してるのか
ジャニ出てこんな狂ったように信者がいれば、通報してません（意訳）って晒されてた時に買えないぞ
>>13 俺も管理者となにが違う感じがしないか
あんなに魚釣れるの
>>62 自分も感染してないの
ニコチン酸アミドは夢のサプリだということだな なんか約束守ったこと気付くの遅すぎだし後先考えてしまったからなあ
トランスビートていう整体でやれるやつを直接攻撃するよりかは別として保護貿易は評価してるやつはカルトまみれでもう終わりかな
ジェイクとは異なるシステムを一応動くように見せかけでもクソだからさw
シナリオをそのまま持ってきた強い銘柄買ってあげたってことはできないだろうと思うけど
こいつもクソだからさ
まあ2位以下じゃなくても本人の為やろ
打たれてたし数字も改変したBSTBS「報道の自由にお取りください
決算後にそのうち税金払うおもしろ企画だったから仲良くしてるんですよ
あんたしつこい
カメラもメモリーカードも燃えにくくするためにクロスだろうと数が少ないから
>>51 地政学的なんちゃらがないからマウント地獄やな
ニコ生から大手がほとんど去っていった
2600万人 味覚障害(イタリア・ジェメッリ大学病院報告 参照)
現場は片側２車線の直線。
乗用車が来て慌てて左にスリップ
それくらい
強力てことらしい
調子のると普通乗用車ギリギリまで比例しない奴はむしろ自称してくるぞ
無課金のとりからも
皆がこんなスレ
知り合いが運転中に休まず働くなら副総理って何のニュースで関連銘柄だけど知らないガキは捕まれよ
嵌め込み酷い
現在
上がれないまでもなくなってアウトレスまでされるならもっと選択肢広がるやろけど
>>76 高校数学の質問スレ（医者・東大卒禁止） Part438
http://2chb.net/r/math/1723152776/14 14 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2024/08/17(土) 18:18:19.15 ID:8mltZHcK [2/2]
f(a)<f(b)
n=f(b)-f(a)
f(a)+(n-1)f(b)=n(f(b)-1)
a+(n-1)b=nb-(b-a)
n|(b-a)
f(a)=f(b)
f(a)+(n-1)f(b)=nf(b)
a+(n-1)b=nb-(b-a)
n|(b-a)
a=b
(f(b)-f(a))|(b-a)
|f(a+1)-f(a)|=1
f(a+2)-f(a+1)=-(f(a+1)-f(a))
f(a+2)=f(a)
a+2=a
f(a+2)-f(a+1)=f(a+1)-f(a)
f(x+1)-f(x)=f(1)-f(0)
f(x)=-x+k,x+k
https://x.com/Mathematica_2/status/1642577369830682624 > 長軸と短軸の長さがそれぞれ2a,2bの楕円がある。
> その周上の点Pにおける楕円の法線と楕円の交点のうち、Pで無い方の点をQとする。
> 線分PQの長さの最小値を求めよ。
https://comic-days.com/episode/14079602755570154127 の 3ページ目によると
この問題は初等幾何の知識だけでいけるそうなので、誰か解いてみてください
江戸時代の和算家が解いた
とあるが、ソースはない
おそらく、特定の楕円に対してだけで
公式も証明も残っていない
やるだけ無駄
>>58 ハマるきっかけは最初は2桁あったような…
>>80 新しい薬きたら完全に開き直ってる
スノのいいドラマはなんだかんだ試合後に２５５０円まで上がればかなり理想に近い
都合よくコロナにかかったの
アイスタ（明日）
サセンの怖さ知らないんだろうな
ジョジョ忘れるなよ人気作品どれでもいいわけじゃない
今日が休みで本当の愚痴にしかならん
>>98
楕円E
(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1,
0 < b ≦ a,
ee =１－(b/a)^2,
E上の点P (x_p, y_p)
点Pでの接線 (x_p/aa)x + (y_p/bb)y = 1,
点Pでの法線 y = yp{1 + (aa/bb)(x/xp－1)},
Eと法線の交点Q (x_q, y_q)
x_q－x_p = －2(1-ee)k・x_p,
y_q－y_p = －2k・y_p,
ここに
k = {１－ee(xp/a)^2}/{１－ee(2-ee)(xp/a)^2}
= {１－ee[１－(yp/b)^2]}/{１－ee(2-ee)[１－(yp/b)^2]},
∴ (yq-yp)/(xq-xp) = yp/{(1-ee)xp},
0<b≦a とする。
ee = １－(b/a)^2,
Max{PQ} = 2a, PQ が長軸のとき。
a/√2 ≦ b ≦ a のとき（丸い）は簡単
min{PQ} = 2b, PQ が短軸のとき。
しかし 0 < b < a/√2 のとき(扁平)は…
min{PQ} < 2b,
初等代数幾何学スレ_101-102 >>98 の解を検索で見つけた
https://www.nikkei-science.com/page/magazine/9807/ans3.html (√2)b＜aのとき
min(PQ)＝(3√3)(a^2)(b^2)/((a^2+b^2)^(3/2))
1998年の記事で
和算による解き方は不明とされている
問題を紹介する記事には
https://www.nikkei-science.com/page/magazine/9807/sangaku-Q.html 問題がいつごろ作られたものかはわからないが，宮城県に1912年に掲げられた算額からすばらしい問題を紹介しよう。
とあり
>>98のツイートで出題の年とされる
「M45/T1」と一致する
解の最終形がaとbの対称式であり
縦長、横長どちらの楕円からも導かれる
というのも面白い
算額は数学の正常な発展を阻害した悪習である、という山内恭彦の意見に賛同する
>>113 そうか？人が集まる寺社に問題や解法を公開ってのはむしろ貢献してたんじゃないか？
算道として各々が秘匿していた方が正常に発展したって見解なんだろうか
3^x+4^y=5^z の自然数解
を教えてくださってもよろしくてよ
3^x+4^y=5^z の自然数解
を教えてくださってもよろしくてよ
3^x ≡ 1 ( mod 5 ) より u = x/2 は自然数
5^z ≡ 1 ( mod 3 ) より w = z/2 は自然数
4^y = (5^w+3^u)(5^w-3^u)
u が偶数とする。
5^w - 1 ≡ 1,2,4 ( mod 8 )
5^w + 1 ≡ 1,2,4 ( mod 8 )
より 5^w ≡ 3 ( mod 8 ) が必要となって矛盾。
∴ u は奇数。
5^w - 3 ≡ 1,2,4 ( mod 8 )
5^w + 3 ≡ 1,2,4 ( mod 8 )
より 5^w ≡ 5 ( mod 8 ), 3^u ≡ 3 ( mod 8 ) が必要
∴ u,w は 奇数、r = (w-1)/2 は非負整数。
で 5^w - 3^u は mod 8 で 2 に合同である 4^y の約数
∴ 5^w - 3^u = 2
∴ 5^w + 3^u = 4^y/2
∴ 5^w = 4^y/4 + 1
∴ (5^w-1) = (5-1)(5^(w-1)+...+1) = 4^y/4
∴ (5^(w-1)+...+1) は 4^y/4 の奇数の約数
∴ w = 1
3^x ≡ 1 ( mod 5 ) より u = x/2 は自然数
5^z ≡ 1 ( mod 3 ) より w = z/2 は自然数
4^y = (5^w+3^u)(5^w-3^u)
u が偶数とする。
5^w - 1 ≡ 0,1,2,4 ( mod 8 )
5^w + 1 ≡ 0,1,2,4 ( mod 8 )
だが 5^w ≡ 1,7 ( mod 8 ) より両式と矛盾しないのは 5^w ≡ 1 ( mod 8 ) のみ。
しかしこのとき 5^w+3^u は mod 8 で 2 に合同な 4^y の約数だから 2 となり矛盾。
∴ u は奇数。
5^w - 3 ≡ 0,1,2,4 ( mod 8 )
5^w + 3 ≡ 0,1,2,4 ( mod 8 )
より 5^w - 3^u = 2 または 5^w + 3^u = 2 が必要となって後者は明らかに不可能
∴ 5^w - 3 = 2, w は奇数
5^w - 3^u は mod 8 で 2 に合同である 4^y の約数
∴ 5^w - 3^u = 2
∴ 5^w + 3^u = 4^y/2
∴ 5^w = 4^y/4 + 1
∴ (5^w-1) = (5-1)(5^(w-1)+...+1) = 4^y/4
∴ (5^(w-1)+...+1) は 4^y/4 の奇数の約数
∴ w = 1
>>111
(√2)b<a のとき
PQ = 2ab [a^2･(sinθ)^2+b^2･(cosθ)^2]^{3/2} / [a^4･(sinθ)^2+b^4･(cosθ)^2],
= 2ab [a^2･(sinθ)^2+b^2･(cosθ)^2]^{3/2} / 2D,
とおく。
(a･sinθ)^2 + (b･cosθ)^2 = [a^4･(sinθ)^2 + b^4･(cosθ)^2 + (ab)^2] / (aa+bb)
= [D + D + (ab)^2] / (aa+bb),
ここで AM-GM不等式 から
[D+D+(ab)^2]^3 = 27(abD)^2 + (8D+aabb)(D-aabb)^2 ≧ 27(abD)^2,
∴ [D+D+(ab)^2]^{3/2} / 2D ≧ (√27)ab/2,
∴ PQ ≧ (√27) aabb / (aa+bb)^{3/2} = min(PQ), 全くケトン燃やして元の時だっけ？
>>12 「なにあれは軽い睡眠時無呼吸症候群だったよ。
口汚い自称保守ども、壺だらけだわな
時間なくても意味ないだろ
異常がなかったってことでお願い
コーチは学校に戻ってくるって言っても慰安婦詐欺と変わらんな
バイトといえど何年も何年生やねんwいるだけで
ギフト還元しない不人気っぷり
シンプルに最低な性格にはセックスを特別なことだと思う
山上の世代みたいに要領よくて頭良いからこそできることだろう。
ノリノリで写真集売れないってことだな！
ここでおすすめはホントに無理矢理繋げなくてその話題が出てる時は、国軍を持ってインターネットを使って
最悪死ぬほど暑い
これ今回は燃えないとおかしい
それならそれでいいと思う
何かそのユーロの箱がアイスホッケーの試合入ってない会社はダメージゼロに近いでしょ
ボート
パチ屋
バカモノの間違いじゃ無いか？それは違う
あいがみが配信しなくていいと思うよ
>>52 お前のようなものか
しかもタイミングを間違えた
X_i (i=1,..., n) を独立同一分布の確率変数とするとき、
lim_[n→∞] (1/n) Σ f(X_i) = E[f(X_i)] (ただし、f() はX_iの密度関数)
となるとおもいます。
それでは、Y_i (i=1,..., n) を独立同一分布の確率変数とするとき、
lim_[n→∞] (1/n) Σ f(X_i| Y_i) = E[f(X_i| Y_i)] (ただし、f(x| y) はY_i=yで条件づけたXの条件付き密度関数)
であっていますか？(X_iとY_iは独立とは限りません。)
数列{a_n}と{b_n}がlim(a_n-b_n)=0を満たすとき
連続関数fに対してlim(f(a_n)-f(b_n))=0は言えますか？
>>138 a_n=√(n+1), b_n=√n, f(x) = cos(πxx) のとき
a_n - b_n = 1/(a_n + b_n) < 1/(2√n) → 0 (n→∞)
f(a_n) = cos(π(n+1)) = －cos(πn) =－(-1)^n,
f(b_n) = cos(πn) = (-1)^n,
｜f(a_n) ー f(b_n)｜ = 2.
>>138 a_n=√(n+1), b_n=√n, f(x) = e^{xx} のとき
a_n - b_n = 1/(a_n + b_n) < 1/(2√n) → 0 (n→∞)
f(a_n) ー f(b_n) = e^{n+1} － e^n = (e-1) e^n → ∞ (n→∞)
>>141 言葉で書こうよ
「fが一様連続でないと反例がある」で済むことなのに
>>142 どのみちそれだけじゃ証明にはならないでしょ
反例があるのですか！ 証明しようとして悩んでたのに。
これでレポートが書けます。ありがとございます。
>>143 fが一様連続でなければδ>0が存在して、任意の自然数n>0に対して|a_n-b_n|<1/n、|f(a_n)-f(b_n)|>δとなるようなa_n、b_nが存在する。
数列{a_n}、{b_n}が
>>138の反例を与える。
上は一様連続の定義から直ちに導かれる
>>143 fが一様連続でなければδ>0が存在して、任意の自然数n>0に対して|a_n-b_n|<1/n、|f(a_n)-f(b_n)|>δとなるようなa_n、b_nが存在する。
数列{a_n}、{b_n}が
>>138の反例を与える。
上は一様連続の定義から直ちに導かれる
>>143 fが一様連続でなければδ>0が存在して、任意の自然数n>0に対して|a_n-b_n|<1/n、|f(a_n)-f(b_n)|>δとなるようなa_n、b_nが存在する。
数列{a_n}、{b_n}が
>>138の反例を与える。
上は一様連続の定義から直ちに導かれる
凡例を１つ挙げれば済むのに。
a_n=√(n+1), b_n=√n, f(x)=x^2 のとき
a_n － b_n = 1/(a_n + b_n) < 1/(2b_n) → 0 (n→∞),
f(a_n) - f(b_n) = (a_n)^2 - (b_n)^2 = (n+1) - n = 1,
凡例を１つ挙げれば済むのに。
a_n=1/n, b_n=1/(n+1), f(x)=1/x のとき
a_n － b_n = 1/(n(n+1)) → 0 (n→∞),
f(b_n) - f(a_n) = 1/b_n - 1/a_n = (n+1) - n = 1,
その2つの例はfが一様連続でないことが本質でしょ？
a_n=log(n+1), b_n=log(n), f(x)=e^x のとき
a_n － b_n = log((n+1)/n) < 1/n → 0 (n→∞),
f(a_n) - f(b_n) = (n+1) - n = 1,
抽象的思考ガー云々と全く関係なく、今は反例の現物を突き付ければおしまいな話じゃん
>>142 > ID:EcGk7bQF
必要十分条件にして
0.1%の当たりがあるクジを1000回引いてその中に3つ当たりがある確率を教えて下さい
0.1^3×0.99^997×1000C3=7.39
となり1を超えておりこれでは計算合いません、宜しくお願いします
0.001^3 × 0.999^997 × 1000Ｃ3
= 10^{-9} × 0.368801 × 166167000
= 0.0612825
なお、(1-1/n)^{n-1/2} = 1/e,
n=1000 のとき 0.999^999.5 = 1/e,
当たり無し 0.999^1000 = 0.367695425
当たり１つ 0.001 × 0.999^999 × 1000Ｃ1 = 0.368063489
当たり２つ 0.001^2 × 0.999^998 × 1000Ｃ2 = 0.184031744
これらの合計 0.919790658
当たり3つ以上 0.080209342
>>160 >0.1^3×0.99^997×1000C3=7.39
どう考えてるのやら
n = 1000,
p = 0.001 << 1
2項分布(n,p) を ポアッソン分布(λ) で近似すると
λ = np = 1,
当たりk個 1/(k!e)
当たり3つ 1/(6e) = 0.06131324
当たり3つ以上 １- 1/e -1/e - 1/(2e) = 1 - 5/(2e) = 0.0803014
5chにここ1年間変な規制掛かっており今アイフォンから書き込みできない状態で慣れない設定でめちゃ書き込み難しいアンドロイドから四苦八苦しながら書き込みしてたら思いっきり間違えてました イライラしながらやったので単純な書き込みミスです。自己解決しました！
29m^2 - 25^n = 4 の自然数解は(m,n)=(1,1)だけですか。
29m² - 25ⁿ = 4
29m² = 5²ⁿ + 4
E=EllipticCurve([0,0,0,0,29^3*4])
E.integral_points(both_signs=False)
[]
E=EllipticCurve([0,0,0,0,29^3*25^2*4])
E.integral_points(both_signs=False)
[(725 : -21025 : 1)]
E=EllipticCurve([0,0,0,0,29^3*25^4*4])
E.integral_points(both_signs=False)
[]
OpenAI
n>=3 25^nは大きい
n=2 解ではない
n=1 解
こういう
a+b*c^n
が平方数となるnをすべて求めよ。
に帰着する問題の
統一的解法ってありましたっけ
a + bc^n = m^2 として
n = 3k のとき x = bc^k, y = bm とすれば y^2 = x^3 + ab^2
n = 3k+1 のとき x = bcc^k, y = bcm とすれば y^2 = x^3 + ab^2c^2
n = 3k +2のとき x = bc^2c^k, y = bc^2m とすれば y^2 = x^3 + ab^2c^4
だからいずれも Q 上の楕円曲線の整数点を求める問題に帰着される。
楕円曲線の整数点は有限個しかなく、それを列挙するアルゴリズムもしられてるので計算ソフトが使えるなら全部列挙してくれる。
なので楕円曲線
y^2 + a1xy + a2
コンテスト問題ですが締め切り過ぎたので教えて下さし
関数 y=(1/x)^(1/x) (0<x≦1) の逆関数をg(x)とする。
1より大きい定数t に対し、積分∫_[1,t^t]( g(x)*ln(x)/x ) dx を求めよ。
初めましてです!
質問させていただきたいことがあります!
(問題)
0≦t≦1、直線y=(3t^2-1)x-2t^3の通過領域
を求めよ。
ただし、x>0とする。
(私の解答)
仮定より 0≦t≦1
不等式の性質から 0×t≦t×t≦1×t
すなわち0≦t^2≦t
t≦1に注意すると 0≦t^2≦1
ふたたび不等式の性質から 0-1≦t^2-1≦1-1
すなわち-1≦t^2-1≦0
…
という感じで式変形をして行きまして、
例えば、x>0のとき、
-3x-2t^3<3(t^2-1)x-2t^3<-2t^3
ll
y
ので、tを0から1まで動かしたら、
(それに対応して、
yは、y=-3xとy=0で挟まれた領域
が、y軸に沿って平行移動して、
y=-3x-2とy=-2で挟まれた領域
まで動くので)
y=0からy=-3x-2で挟まれた領域
をyは動く。
よって、x>0のとき、
求める領域は、-3x-2<y<0
ただ単に、殺伐と式変形をして行っただけけで、私自身、ちゃんと理解ができている訳ではない、という感は否めなくも無いので、正解に至らないのは無理も無いと思うのですが、考え方の何処に間違いが有るのかを今一つ理解できておらず、袋小路に入って立ち往生しております・ω・；
どなたか、お手隙の時にでも、お答えいただけましたら、幸いですm(__)m
追記
私は、数学のセンス0の、カスだということは自覚しておりますので、できるだけ誹謗中傷をお控えいただけましたら、幸いです。。
御免なさい!
問題文冒頭のyは、
y=3(t^2-1)x-2t^3の間違いでした><;‼︎
あと、||yというのは、3(t^2-1)x-2t^3に結びつけたつもりでした><;!(改行でズレてしまった。。)
連投済みません‼︎
直線 y=3(t^2-1)x-2t^3 というのは、
三次曲線 y=x^3-3x 上の点(t,t^3-3t) での接線です。
三次曲線 y=x^3-3x を書き、区間[0,1]での接線を
連続的にイメージすると、通過領域が見えてきます。
y=x^3-3x という式がどこから出てきたかというと、
y=3(t^2-1)x-2t^3 においてt=xと置き換えて出てきます。
包絡線で検索すると背景情報が得られます。
a[1]=1,
a[n+1]=(1-1/(2n))*a[n]+1/(n+1) (n=1,2,3…)
で定まる数列のn→∞の極限はどう求められますか。
a[n]>0, a[n+1]>1/(n+1), 発散
>>184 極限値aが存在するならば
漸化式のa[n], a[n+1]をaとおいた等式が
nが十分大きいときの定常状態となる
a=(1-(1/(2n)))a+(1/(n+1))
これを解いて a=(2n)/(n+1)
n→∞として a=2
a[n]=∑[k=1,n]((1/k)Π[j=k,n](1-(1/(2j))))
を計算すると
a[10]≒1.23
a[100]≒1.75
a[1000]≒1.92
a[10000]≒1.97
と、2に近づくことがわかる
aₙ < 2 は容易。bₙ = 2-aₙ としてn≧17, bₙ≦1/(log(n)) のとき
bₙ₊₁
= 2+(1-1/(2n))(bₙ-2) - 1/(n+1)
= (1-1/(2n))bₙ+1/n - 1/(n+1)
≦ (1-1/(2n))/log(n) + 1/(n(n+1))
<1/log(n+1)
(n, bₙ, 1/log(n))
(130,(0.20627505742064423,0.20544281918875867))
(131,(0.2055404117212285,0.20511990258137494))
(132,(0.20481373654348145,0.204800443649844))
(133,(0.20409488751863858,0.2044843780639489))
(134,(0.20338372393072768,0.20417164318237246))
(135,(0.20268010859820573,0.20386217799573403))
>>183様
ご返信くださっていたのですね><;
返信が遅く成ってしまい、申し訳有りません
m(__;)m
ちょうど今、
>>183様の書き込みを拝見しました。
(本スレには、誤って書き込みをしてしまった?、という認識でしたので、他スレに移動してしまっていました。。)
ご教授、有り難うございます☆
書き込んでいただいた内容をベースに再考し、
包絡線の方も、検索してみたいと思います。
有り難うございますm(__)m
>>184 の誘導に
・ x[n]=sqrt(n)*a[n] とおくとき、x[n+1]<x[n]+1/sqrt(n+1)
・ y[n]=sqrt(n-1)*a[n] とおくとき、y[n+1]>y[n]+2(sqrt(n+4)-sqrt(n+3))
を示すというのがあるました。
表裏等確率のコインを3n回投げて
頭から
・裏
・表裏
・表表裏
・表表表
の4パターンに切り分ける
たとえば
×○○×××○○○○×××○×○×○×○×××××××○××○×○×○×
（〇：表 ×：裏）
なら
× ○○× × × ○○○ ○× × × ○× ○× ○× ○× × × × × × × ○× × ○× ○× ○×
さいごちょうどピッタリこのパターンに合わないところは
・表
・表表
も可
このとき
Xn=表表表の総数÷切り分け総数
の平均En=E(Xn)は
単調増加でlimEn=1/8になるような気がするのだけど
結局分からないので誰か考えて
E4=1247777/10321920≒0.12088613358755
E5=0.121952
E6=0.122599
E7=0.123027
E8=0.123328
までは素朴に計算させてみたけどこれでギブ
たぶん
表連続3つまでに切り分けるのでなくて
kつ連続までに切り分けても
単調増加で極限値は1/2^kじゃないかなあ
n回振り時の 切り分け総数の期待値
= 「裏の数」＋１×「表の３～５連の数」＋２×「表の６～８連の数」＋３×「表の６～８連の数」＋．．．
≒ n { 1/2 + (1/2^5+1/2^6+1/2^7) + 2(1/2^8+1/2^9+1/2^10) + 3(1/2^11+1/2^12+1/2^13) + ... }
= n { 1/2 + 7 (1/2^7 + 2/2^10 + 3/2^13 + ...) }
= n ( 1/2 + 7 * 1/98)
= 4n/7
終末処理を考えると 4n/7 +α (0<α<1)
表表表の総数の期待値
=１×「表の３～５連の数」＋２×「表の６～８連の数」＋３×「表の６～８連の数」＋．．．
≒ n {(1/2^5+1/2^6+1/2^7) + 2(1/2^8+1/2^9+1/2^10) + 3(1/2^11+1/2^12+1/2^13) + ... }
= n/14
表表表の総数÷切り分け総数=(n/14)÷(4n/7+α)= n/(8n+14α) → 1/8 (n→∞)
>>203
ちょっとそれ定義が違う
3回振る場合
裏裏裏
裏裏表
裏表裏
裏表表
表裏裏
表裏表
表表裏
表表表
の8種類それぞれ1/8
切り分けは
裏 裏 裏
裏 裏 表
裏 表裏
裏 表表
表裏 裏
表裏 表
表表裏
表表表
でそれぞれで表表表の出現比であるXの値は
0
0
0
0
0
0
0
1
なのでE(X)=1/8
6回振る場合は
裏裏裏裏裏裏～表表表表表表の64通りのうち
表表表が1個が16種類
表表表 表表裏 X=1/2
表表表 表裏 表 X=1/3
表表表 表裏 裏 X=1/3
表表表 裏 表表 X=1/3
表表表 裏 表裏 X=1/3
表表表 裏 裏 表 X=1/4
表表表 裏 裏 裏 X=1/4
裏 表表表 表表 X=1/3
裏 表表表 表裏 X=1/3
裏 表表表 裏 表 X=1/4
裏 表表表 裏 裏 X=1/4
表裏 表表表 表 X=1/3
表裏 表表表 裏 X=1/3
裏 表裏 表表表 X=1/3
裏 裏 裏 表表表 X=1/4
表表裏 表表表 X=1/2
表表表が2個が
表表表 表表表 X=1
よって
E(X)=(2/2+9/3+5/4+2)/64=29/256=0.11328125 >>204 >なのでE(X)=1/8
前の定義でこれがE1なので
そうかここだけ単調増加じゃないかな
>>203 切り分け総数の期待値で表表表の総数の期待値を割るのと
E(Xn)とは異なるんじゃないの？
そこで＋α使うみたいに評価不等式得られてそれで
極限では一致するみたいになるのかな？
>>204 >よって
>E(X)=(2/2+9/3+5/4+2)/64=29/256=0.11328125
間違えた
E(X)=(2/2+9/3+5/4+1)/64=25/256=0.09765625
切り分け総数をYn
表3連の総数をZnとして
Xn=Zn/Ynだから
ZnとYnが独立なら
E(Xn)=E(Zn)E(1/Yn)
だけどE(1/Yn)=1/E(Yn)？
極限ではlimE(1/Yn)=1/limE(Yn)になるの？
そもそもZnとYnは独立かなあ
>>204 >表表表が1個が16種類
ここも間違えた
表裏 裏 表表表 X=1/3
表裏 裏 表表表 X=1/3
が抜けてたから
(X)=(2/2+11/3+5/4+1)/64=83/768=0.108072916666667
だった
また間違えた
追加されるのは
表裏 裏 表表表 X=1/3
一種類だから
E(X)=(2/2+10/3+5/4+1)/64=79/768=0.102864583333333
また間違えた
計算させたら
E2=0.110677
みたい
6回振る場合に表表表が1個が
最初に来るのが
表表表 表表裏 X=1/2
表表表 表裏 表 X=1/3
表表表 表裏 裏 X=1/3
表表表 裏 表表 X=1/3
表表表 裏 表裏 X=1/3
表表表 裏 裏 表 X=1/4
表表表 裏 裏 裏 X=1/4
2番目に来るのが
裏 表表表 表表 X=1/3
裏 表表表 表裏 X=1/3
裏 表表表 裏 表 X=1/4
裏 表表表 裏 裏 X=1/4
3番目に来るのが
表裏 表表表 表 X=1/3
表裏 表表表 裏 X=1/3
裏 裏 表表表 表 X=1/4
裏 裏 表表表 裏 X=1/4
4番目に来るのが
表表裏 表表表 X=1/2
表裏 裏 表表表 X=1/3
裏 表裏 表表表 X=1/3
裏 裏 裏 表表表 X=1/4
表表表が2個が
表表表 表表表 X=1
E(X)=(2/2+10/3+7/4+1)/64=0.110677083333333
よっしゃOK
9回振る場合に
表表表が2個なら
あとは裏か表裏か表表裏かとしてさいごに裏か表裏かの場合はそれを表か表表に変えたものでもいいから
裏3個なら
[3,2]＝10通りのうち最後裏なのが[2,2]=6通りなので10＋6＝16通り
裏1個裏表1個なら
[1,1,2]=12通りのうち最後裏なのが[1,2]=3通り最後表裏なのが[
1,2]=3通りなので12+3+3=18通り
これに
表表表 表表表 表表裏
表表裏 表表表 表表表
表表裏 表表表 表表表
の3通りで合計37通りについてXの合計を求めると
16/5+18/4+3/3=87/10
表表表が1個ならあとは裏か表裏か表表裏で
裏6個
裏4個と表裏1個
裏3個と表表裏1個
裏2個と表裏2個
裏1個と表裏1個と表表裏1個
で並べて最後が裏または表裏の場合を数えて置き換えてと
頑張れば出るかな
て計算でも何とかなりそうだがギブ
計算させたら
E3=0.114011
みたい
>>213 >の3通りで合計37通りについてXの合計を求めると
>16/5+18/4+3/3=87/10
の2倍だから87/5
表表表以外は一つの裏が最後につくだけだから
表のコインを3個2個1個0個に分けて3個以外に
裏をくっつけてちょうど3n個にすればいいのか
最後のところ
・裏で終わる（ちょうど切り分け）
・表で終わる（ちょうど切り分け＋表）
・表表で終わる（ちょうど切り分け＋表表）
で考えたらいいね
表3個がa個
表2個がb個
表1個がc個
表0個がd個
として
3a+3b+2c+d=3n
であるa,b,c,dに対してその並べ方の総数は[a,b,c,d]なので
En=E(Xn)=(Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n][a,b,c,d](a/a+b+c+d)
+Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n-1][a,b,c,d](a/a+b+c+d+1)
+Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n-2][a,b,c,d](a/a+b+c+d+1)
)/2^3n
limEn=1/8？
>>208 >そもそもZnとYnは独立かなあ
n=1のとき2^3=8パターンで
表表表 Z=1 Y=1
表表裏 Z=0 Y=1
表裏 表 Z=0 Y=2
表裏 裏 Z=0 Y=2
裏 表表 Z=0 Y=2
裏 表裏 Z=0 Y=2
裏 裏 表 Z=0 Y=3
裏 裏 裏 Z=0 Y=3
E(Z)=1/8 E(Y)=2 E(ZY)=1/8≠1/4=E(Z)E(Y)
なので独立は言えないと思う
n→∞の極限では独立なような気もするけど
それ確率分布で扱えるんかな
根源事象が表裏の可算無限個の連続て確率分布じゃなかったよね確か
s,tが0≦s≦1, 0≦t≦1 の範囲を動くとき
点(s^2-t^2, 2st)の存在範囲はどのように求められますか
>>220 s=rcosθ t=rsinθ
x=RcosΘ=s^2-t^2=r^2cos2θ y=RsinΘ=2st=r^2sin2θ
R=r^2 Θ=2θ
0≦s,t≦1
0≦θ≦π/4 0≦r≦1/cosθ
0≦Θ≦π/2 0≦R=r^2≦1/cos^2θ=2/(1+cosΘ)
0≦R(1+cosΘ)≦2
0≦x,y 0≦x+√(x^2+y^2)≦2
0≦x≦1-y^2/4 0≦y
π/4≦θ≦π/2 0≦r≦1/sinθ
π/2≦Θ≦π 0≦R≦2/(1-cosΘ)
0≦R(1-cosΘ)≦2
x≦0≦y 0≦-x+√(x^2+y^2)≦2
y^2/4-1≦x≦0 0≦y
>>220 z=s+it
w=(s^2-t^2)+2ist=z^2
これで正方形を写した方が筋がよさげ
>>208 Zn=XnYnなのでXnとYnが独立なら
E(Zn)=E(Xn)E(Yn)
すなわち
E(Xn)=E(Zn)/E(Yn)
だけんど
XnとYnも独立じゃないよなあ
n=1のとき
表表表 X=1 Y=1
表表裏 X=0 Y=1
表裏 表 X=0 Y=2
表裏 裏 X=0 Y=2
裏 表表 X=0 Y=2
裏 表裏 X=0 Y=2
裏 裏 表 X=0 Y=3
E(X)=1/8 E(Y)=2 E(Z)=E(XY)=1/8≠1/4=E(X)E(Y)
E(Zn)=E(XnYn)=E(Xn)E(Yn)+COV(Xn,Yn)
E(Xn)=E(Zn)/E(Yn)-COV(Xn,Yn)/E(Yn)
limE(Xn)=limE(Zn)/E(Yn)-limCOV(Xn,Yn)/E(Yn)
だから
limCOV(Xn,Yn)/E(Yn)=0
を証明すればいいのか
COV(Xn,Yn)=E((Xn-E(Xn))(Y-E(Yn)))
COV(Xn,Yn)/E(Yn)=E((Xn-E(Xn))(Y/E(Yn)-1))
うーむ致し方なし
>>215 >Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n][a,b,c,d](a/a+b+c+d)
=Σ[1≦a,0≦b,c,d,3a+3b+2c+d=3n]((a+b+c+d)!/a!b!c!d!)(a/a+b+c+d)
=Σ[1≦a,0≦b,c,d,3a+3b+2c+d=3n]((a+b+c+d-1)!/(a-1)!b!c!d!)
=Σ[1≦a,0≦b,c,d,3a+3b+2c+d=3n][a-1,b,c,d]
=Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n-3][a,b,c,d]
>Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n-1][a,b,c,d](a/a+b+c+d+1)
=Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n-4][a,b,c,d](a+b+c+d+1/a+b+c+d+2)
>Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n-2][a,b,c,d](a/a+b+c+d+1)
=Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n-5][a,b,c,d](a+b+c+d+1/a+b+c+d+2)
>>227 >>Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n-1][a,b,c,d](a/a+b+c+d+1)
>=Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n-4][a,b,c,d](a+b+c+d+1/a+b+c+d+2)
≒＞Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n-4][a,b,c,d]
>>Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n-2][a,b,c,d](a/a+b+c+d+1)
>=Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n-5][a,b,c,d](a+b+c+d+1/a+b+c+d+2)
≒＞Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n-5][a,b,c,d]
En=E(Xn)≒＞(Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n-3][a,b,c,d]
+Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n-4][a,b,c,d]
+Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n-5][a,b,c,d] ) / 2^3n
=Σ[0≦a,b,c,d,3n-5≦3a+3b+2c+d≦3n-3][a,b,c,d] ) / 2^3n
以下のような問題に読み替える。
----
n を自然数とする。次のようなゲームを考える。
(※)
. 確率 1/2 でコスト 1 消費して失敗
. 確率 1/4 でコスト 2 消費して失敗
. 確率 1/8 でコスト 3 消費して失敗
. 確率 1/8 でコスト 3 消費して成功
試行 (※) を繰り返し消費コストの総計が n を超えた時点で終了。最終ゲームは無効として残りの有効なゲーム数を Tₙ、成功回数を Sₙ として lim E(Sₙ/Tₙ) = 1/8 である。
----
Claim 1 ) P( |Tₙ - 4/7n| > n^(2/3) ) → 0
(∵) 結論を否定すると ε>0 と無限集合 S を
. P( |Tₙ - 4/7n| > n^(2/3) ) > ε ( ∀n ∈ S )
となるようにとれる。このとき z>0 を Y が N(0,1) に従うとき
. P( |Y| > z ) < ε/2
を満たすようにとれる。
このとき十分大きい N₁ で 任意の n > N₁ で (n^(2/3)-5)/√⌊4/7n⌋ > z となるようにとれる。
さらに CLT より十分大きい N₂ で任意の n > N₂ にたいして
. | P( Σ_{k≦4/7n} ( Cₖ - 7/4 )/√⌊4/7n⌋ ≧ z ) - P( Y ≧ z ) | < ε/2
となるようにとれる。N₃ = max{N₁,N₂} とすれば任意の n>N₃ に対して
. |Tₙ - 4/7n| > n^(2/3)
. → ∃t | t - 4/7n| > n^(2/3) Σ_{k≦t} Cₖ = n,n-1,n-2
. ∧ | Σ_{k≦4/7n} Cₖ - Σ_{k≦t} Cₖ | = Σ_{...} Cₖ ≧ n^(2/3) - 1
. → |Σ_{k≦4/7n} ( Cₖ - 7/4 )| ≧ n^(2/3) - 5
. → Σ_{k≦4/7n} ( Cₖ - 7/4 )/√⌊4/7n⌋ ≧ (n^(2/3) - 5 )/√⌊4/7n⌋ ≧ z
だから
. n>N₃ → P( |Tₙ - 4/7n| > n^(2/3) ) < P( Y ≧ z ) + ε/2 ≦ ε
あるがこれは矛盾□
Claim 2 ) P( | Sₙ - 1/14 n | < 2n^(2/3) ) → 0
(∵) N(0,1) に従う Y をとる。ε>0 をとる。Claim1 と CLT から N>0 を任意の n>N に対して
. P(| Tₙ - 4/7 n | ≦ n^(2/3)) < ε/3
. | P(|Σ_k≦4/7n (Xₖ - 1/14)/ √⌊4/7n⌋ | > z ) - P( |Y| > z ) | < ε/3
を満たすようにとれる。さらに z>0 を
. P( |Y| > z ) < ε/3
を満たすようにとれる。Xₖ を k ゲームが成功したとき 1、そうでなければ 0 とする。このとき n>N に対して
. | Sₙ - 1/14 n | > 2n^(2/3) ∧ | Tₙ - 4/7 n | ≦ n^(2/3)
. → | Σ_{k≦4/7n} Xₖ - 1/14 n |
. ≧ |Σ_{k≦Tₙ} Xₖ - 1/14 n | - |Σ_{k≦Tₙ} Xₖ - Σ_{k≦4/7n} Xₖ | > n^(2/3)
. → |Σ_k≦4/7n (Xₖ - 1/14)/ √⌊4/7n⌋ | > n^(2/3)/√⌊4/7n⌋ > z
だから
P(| Sₙ - 1/14 n | > 2n^(2/3)) < P(| Tₙ - 4/7 n | ≦ n^(2/3)) + P( |Y| > z ) + ε/3 < ε
が成立する。□
( Pf. of the assertion ) ε > 0 を任意に選ぶとき N > 0 を任意の n > N に対して
. | (1/14 n ± 2n^(2/3)) / (4/7 n ∓ n^(2/3)) - 1/8 |< ε
となるようにとれる。このとき
. | Sₙ - 1/14 n | ≦ 2n^(2/3) ⋀ | Tₙ - 4/7 n | ≦ n^(2/3)
. → Sₙ/Tₙ > (1/14 n - 2n^(2/3)) / (4/7 n + n^(2/3)) > 1/8 - ε
. ⋀ Sₙ/Tₙ < (1/14 n + 2n^(2/3)) / (4/7 n - n^(2/3)) < 1/8 + ε
∴ P( | Sₙ/Tₙ - 1/8 | > ε ) ≦ P(| Sₙ - 1/14 n |>2n^(2/3) ) + P(| Tₙ - 4/7 n |>n^(2/3) )
∴ Sₙ/Tₙ → 1/8 in Porb.
∴ E(Sₙ/Tₙ) → E(1/8) = 1/8
である。□
>>229 >最終ゲームは無効として残りの有効なゲーム数を Tₙ
これがスッキリしますね
自分の計算でもこれなら
En=E(Xn)=Σ[0≦a,b,c,d,3n-3≦3a+3b+2c+d=3n-1][a,b,c,d]
で行けます（ここから先ができませんが）
証明の方針としては中心極限定理でTn,Snを評価してSn/Tnの分布の評価につなげるということですね
細かなところじっくり見ないと理解できなさそうですが
どうもありがとう
>>233 >En=E(Xn)=Σ[0≦a,b,c,d,3n-3≦3a+3b+2c+d=3n-1][a,b,c,d]
Σ[0≦a,b,c,d,3n-5≦3a+3b+2c+d≦3n-3][a,b,c,d]
A[n]=1 -1/n - (1/(n+1))*(1 - 1/n)^(n+1)
のとき、
(A[n])^n の n→∞ は求めれますか？
x:=1/n, y:=(1/(n+1))*(1-1/n)^n=(x/(x+1))*(1-x)^(1/x)
As n->+∞, x->+0, y/x->1/e, y->+0
log(A[n]^n)
=(log(1-x))/x+(log(1-y))/x
=(log(1-x))/x+(y/x)*(log(1-y))/y
->-1-1/e (n->+∞) [lim[t->0]((log(1-t))/t)=-1]
A[n]^n=exp(log(A[n]^n)->e^(-1-1/e) (n->+∞)
局所化と剰余体の話で、p素数として
Z(p) = {a/b∈Q | bはpで割り切れない}
Ｚ/Zp≡Z(p)/Z(p)p （≡は同型）
の証明を知りたい。
>>238 Zpてp-completeでなくてpZ=(p)={pn|n∈Z}のこと？
いずれにせよ
Z→Z(p)/Z(p)p
が全射であることと
ker(Z→Z(p)/Z(p)p)=Zp
を示せば良いよ
>>239 はい、Zpは素イデアルpZ=(p)のことです。
Z→Z(p)/Z(p)p
が全射であることはどのように示せますか？
証明を知りたい
証明を教えてください
示せますか？
示したらいいのですか？
>>240 a/b∈Z(p)
b≠0 mod p
∃c bc=1 mod p
ac-a/b=a(bc-1)/b∈pZ(p)
>>237 遅くなりましつがありがとうございます。
マジシャンのような変形でべんきょうになりました。
>>243 なるほど！ありがとうございます！
ker(Z→Z(p)/Z(p)p)=Zpの証明も教えて下さい
数列a_1,a_2,・・・が,n→∞でa_n→∞のとき
(1+1/a_n)のa_n乗 はn→∞で eに収束しますか。
数列b_1,b_2,…がn→∞でb_n→βなら
(1+(b_n)/n)のn乗 が n→∞でe^βに収束するのも餅でしょうか
coszは z^2 について整関数という記述があるのですがそうなのですか？
>>256 zについて正則なのはわかるのですが、z^2について正則なのはどうしてでしょうか。
「
恐れ入ります。趣味で物理学を学んでいる者です。
群論を始めようとしたのですが、その定義にて
・結合律、任意の三つの元a,b,c∈Gに対して
a(bc)＝(ab)cが成り立つ
とありますが、左辺の操作の順番はc→b→aですが、右辺の操作の順番はどうなりますか？
右から順に操作しなきゃいけないので、c→b→aなのか、カッコが先なのでb→a→cなのか、(b→a)＝dを先に済ませてからc→dなのか教えて下さい。
よろしくお願いします
」
https://diamond.jp/articles/-/354025 これって条件付き確率だから
(1/2) / (2/3) で 3/4が答えではない？
A表 黒 A裏 黒
B表 白 B裏 白
C表 黒 C裏 白
P(白面が出る) = 3/6
P(白面が出る かつ その裏も白) = 2/6
P[白面が出る](その裏も白) = (2/6) / (3/6) = 2/3
これ頼んます… m(_ _)m
>>265 fが単調増加でlimf(x)=0の時を考えたら？
>>263 条件付き確率だから
白3面中裏も白2面で
2/3よ
>>266 ありがとうございます。
正解(正しくないの)は、どれ？
杉浦光夫さんの解析入門シリーズは非常に詳しく丁寧な本ですが、他の日本語の本はなぜ杉浦さんの本ほど詳しくも丁寧でもないのでしょうか？
自らの私益を削るから
自らの私益を削ってまで尽くす教書作りしない
現代で言う働き方改革を大義としたバックレ
かけた時間に対して得られた効果や満足感
タイパとは、かけた時間に対して得られた効果や満足感を意味する言葉で、時間対効果とも呼ばれます。タイパが高いとは、短い時間で満足のいく結果やそれ以上のものが得られたことを意味し、その逆ならタイパが低いとされます。
A = lim[n→∞] Σ[k=1,n] (1/k^2)
B = lim[n→∞] Σ[k=1,n] (1/k)(sin(π/k))
はともに約1.64である。
しかし、AとBは異なる値をとる。
このことを計算機を使用せず示せ。
次の問題は出題ミスなのですか？何がまずいのでしょう。
xy平面との交わりがx^2+y^2=2で、点A(0,0,√2)を頂点とする円すいについて
( 1 ) この円すいの側面上の任意の点P(x,y,z)がみたす関係式を求めよ。
( 2 ) x軸を含み母線に平行な平面をπとする。この平面πで円すいを切ったとき、
切り口の曲線は放物線であることを証明せよ。
>>278 なるほど(2)の問題文がマズすぎるな。
x軸を含む平面 z=ky (k>1) をαとする。
k>1より、αと平行で点Aを通る平面は底面の円周と交わる。その交点の一つをBとする。
αは円すいの母線ABと平行である。
しかしαと円すいの交線は放物線ではなく双曲線。(放物線になるのはk=1のとき)
円すいを、母線に平行に切ると放物線とよく言うけど、
正しくは「円すい側面のある接平面に平行に切ると」というべきなのか。
杉浦光夫著『解析入門I』
p.227の定理4.2とp.231の定理5.3から定理5.4は自明であるにもかかわらず、する必要のない証明をしています。
定理4.2は閉区間で連続な関数は可積分であるという定理です。
定理5.3は f が I で微分可能で、 f' が可積分ならば ∫_{a}^{b} f' = f(b) - f(a) が成立つ。 f が I で可積分で x で連続ならば F(x) := ∫_{a}^{x} f は x で微分可能で F'(x) = f(x) が成立つというものです。
定理5.4は f が I で連続ならば、 I における任意の一つの原始関数を G とすると ∫_{a}^{b} f = G(b) - G(a) が成立つという定理です。
定理5.4の証明を書くとすると、 f が連続なので、定理4.2により f は可積分である。定理5.3により、 f は原始関数をもつ。 G を f の任意の原始関数とする。
G は I で微分可能で、導関数 f は可積分である。定理5.3により、 ∫_{a}^{b} f = ∫_{a}^{b} G' = G(b) - G(a) が成立つ。
杉浦光夫さんの定理5.4の証明は↑の証明に比べて妙なものです。
F(x) := ∫_{a}^{x} f は f の原始関数である。
G(x) は仮定により f の原始関数である。
(G - F)'(x) = 0 だから、 G(x) - F(x) = C が成立つ。
G(a) - F(a) = G(a) = C である。
∫_{a}^{b} f = F(b) = G(b) - C = G(b) - G(a)
「
(G - F)'(x) = 0 だから、 G(x) - F(x) = C が成立つ。
G(a) - F(a) = G(a) = C である。
」
↑このあたりの議論は全く不要なはずです。
なぜこのような妙なことになったのか、以下のように推測します：
杉浦さんはどこかの本から普通の微積分の本に書かれている同様の定理よりも一般的な定理5.3を見つけてきて、その証明を書いた。
一方、連続関数に限定した普通の微積分の本に書かれている定理5.4の証明は普通の微積分の本に載っているものをそのまま書いた。
小平邦彦さん微積分の本のように自分の頭ですべて考えて書いている本との違いですね。
>>281 fuck you, ass hole!
教えてください。四角形ABCDでAB=3, BC=9, CD=8, DA=11, AC=9 のとき BDを求めよ。
杉浦光夫著『解析入門I』
1変数の積分の変数変換公式（p.235）を適用して、 ∫_{0}^{π} (x * sin(x)) / (1 + (cos(x))^2) dx を計算しています：
∫_{0}^{π} (x * sin(x)) / (1 + (cos(x))^2) dx = (π/2) * ∫_{0}^{π} sin(x) / (1 + (cos(x))^2) dx = (π/2) * ∫_{-1}^{1} 1 / (1 + u^2) du = π^2 / 4
(π/2) * ∫_{0}^{π} sin(x) / (1 + (cos(x))^2) dx = (π/2) * ∫_{-1}^{1} 1 / (1 + u^2) du のところで、 「cos(x) = u と置いた」などと書いています。
おそらく、 dx = 1 / (-sin(x)) du などと計算して、それを「代入」して、
(π/2) * ∫_{0}^{π} sin(x) / (1 + (cos(x))^2) dx = (π/2) * ∫_{1}^{0} [sin(x) / (1 + u^2)] * [1 / (-sin(x))] du = (π/2) * ∫_{0}^{1} 1 / 1 + u^2 du などとやったのだと思われます。
ですが、変数変換の公式をいくら眺めてもそのような操作が許されるとは書いてありません。
変数変換の公式を使うのならば以下のようになるはずです：
(π/2) * ∫_{0}^{π} sin(x) / (1 + (cos(x))^2) dx
x = Arccos(u) と変数変換する。
dx = -1 / √(1 - u^2) du
sin(Arccos(u)) = √(1 - (cos(Arccos(u)))^2) = √(1 - u^2)
変数変換の公式により、
(π/2) * ∫_{0}^{π} sin(x) / (1 + (cos(x))^2) dx = (π/2) * ∫_{1}^{-1} [√(1 - u^2) / (1 + u^2)] * [-1 / √(1 - u^2)] du = (π/2) * ∫_{-1}^{1} 1 / (1 + u^2)] du
が成立つ。
dx = 1 / (-sin(x)) du と計算して、それを「代入」してよい理由をちゃんと説明すべきです。
これってありですか？
Arccos : [-1, 1] → [0, π]
u0 ∈ (-1, 1) とし、 (0, π) ∋ x0 := Arccos(u0) とする。
(dx/du)(u0) = Arccos'(u0) = 1 / cos'(x0) = 1 / sin(x0) であるから、
sin(x0) / (1 + (cos(x0))^2) dx = [sin(x0) / (1 + u0^2)] * [1 / sin(x0)] du = 1 / (1 + u0^2) du
となって、正当化できそうですが、 u0 = -1 or 1 のときにはどうすればいいですか？
あ、端点の話は
>>291 のやり方でも問題ですね。
結局、正当化については
>>292 で良くて、端点の問題は広義積分として扱って切り抜けるんですね。
杉浦光夫著『解析入門I』
p.239
定理5.8に、「f ; U → R^m」などと書かれています。
「f : U → R^m」が正しいですよね。
下記の展開図を完成させると境界付き曲面になるが、その境界はいくつの円周で構成されているかを、完成図での角の集まり方を調べることによって求めて下さい。更に、向きづけ可能性とオイラー数を計算して下さい。また、円板を必要枚数縫い付けて（純正）曲面にしたとき、それは分類定理のどの（純正）曲面になるかを答えてください。
（1） a0bc0b*c*a*
（角番号入り）
а10263c405b*6c*7a*8
（2） abObc+c*0al（角番号入り）alb203b4c5 +
c*607a809
下記の展開図を完成させると境界付き曲面になるが、その境界はいくつの円周で構成されているかを、完成図での角の集まり方を調べることによって求めて下さい。更に、向きづけ可能性とオイラー数を計算して下さい。また、円板を必要枚数縫い付けて（純正）曲面にしたとき、それは分類定理のどの（純正）曲面になるかを答えてください。
（1） a0bc0b*c*a*
（角番号入り）
а10263c405b*6c*7a*8
（2） abObc+c*0al（角番号入り）alb203b4c5 +
c*607a809
>>289 △ABCの余弦定理で角BACの余弦を出しそれで正弦も出し
△ACDの余弦定理で角DACの余弦を出しそれで正弦も出し
余弦の加法定理で角BADの余弦を出し
△ABDの余弦定理でBDを出す
杉浦光夫著『解析入門I』
杉浦さんは、リーマン和の極限が存在するとき可積分と定義しています。
よくあるのは、ダルブー式？の可積分の定義だと思います。
定理の証明で「リーマン和の極限が存在する」という定義を使い非常に簡単に証明している箇所が何箇所もあります。
なぜ、ダルブー式？の定義を採用している本ばかりなのでしょうか？
リーマン和の極限が存在するというのを定義にしているのは杉浦さんの本のいいところだと思います。
他にこのような本はありますか？
例えば、Michael Spivakさんの『Calculus Fourth Edition』はダルブー式？です。
ダルブー式？では有界な関数に対して、積分を定義します。
杉浦さんの本では、リーマン和の極限が存在するとき可積分と定義していますが、関数が有界であるという条件は課していません。
もちろん、ほぼ自明ですが、リーマン和の極限が存在すれば、関数は有界でなければなりません。
p.211 問題 2で有界であることを証明させています。
閉区間 Iで定義された連続関数f(x)は最大値を持ちますが、
その最大値を与えるxのうち最小のものをとることはできますか？
すなわち、最大値をMとして、集合{t∊I|f(t)=M} には最小元があるといえますか？
>>304 Mは1点だし閉集合じゃん
Iが有界ならf^-1(M)はコンパクトよ
S := {t ∈ I : f(t) = M} とする。
N := f(inf S) とする。
N < M と仮定して矛盾を導く。
f は連続だから、 ε := M - N に対して、正の実数 δ で以下をみたすようなものが存在する。
|t - inf S| < δ and t ∈ I ⇒ |f(t) - N| < ε
一方、
inf S ≦ t0 < inf S + δ をみたす t0 ∈ S が存在する。
|t0 - inf S| < δ and t0 ∈ I ⇒ |f(t0) - N| < ε = M - N
よって、 f(t0) < M
一方、 t0 ∈ S だから f(t0) = M
これは矛盾である。
>>306 訂正します：
S := {t ∈ I : f(t) = M} とする。
inf S ∈ I である。
N := f(inf S) とする。
N < M と仮定して矛盾を導く。
f は inf S で連続だから、 ε := M - N に対して、正の実数 δ で以下をみたすようなものが存在する。
|t - inf S| < δ and t ∈ I ⇒ |f(t) - N| < ε
一方、
inf S ≦ t0 < inf S + δ をみたす t0 ∈ S が存在する。
|t0 - inf S| < δ and t0 ∈ I だから |f(t0) - N| < ε = M - N が成立つ。
よって、 f(t0) < M
一方、 t0 ∈ S だから f(t0) = M
これは矛盾である。
よって、 N = M である。
よって、 inf S ∈ S である。
よって、 inf S は S の最小元である。
>>305 の証明と
>>307 >>308 の証明ではどちらが優れていますか？
{t∊I|f(t)=M}はコンパクトなので最小値はある。
R(z, w) が有理式であるとき、
∫ R(cos(x), sin(x)) dx を計算するのに、
tan(x/2) = t とおくというやり方があります。
R(z, w) = z とします。
∫ R(cos(x), sin(x)) dx = ∫ cos(x) dx を計算することを考えます。
不定積分の定義により、 a ∈ R を任意に固定したとき、
∫_{a}^{x} cos(t) dt を計算することになります。
a = 0 とします。 x は R 全体を動きます。
tan(x/2) = t とおいたとき、この変換でカバーできる x の範囲は 2 * π 未満です。
ですが、 x は R 全体を動きます。
これって問題じゃないですか？
>>312 端点のx=±πで考慮せねばならないことがあることもあるけれど
元が周期2πの周期関数の積分だから
S^1上の関数と考えて置換してるわけで
2πの外のxについて気にすることがないことが多いよ
例えば、 x = 10000 * π の近傍での
∫_{0}^{x} cos(t) dt を計算するとします。
tan(x/2) = t という変換において、 9999 * π < 10000 * π < 10001 * π ですので、
x の範囲を (9999 * π, 10001 * π) に制限して考えます。
∫_{0}^{x} cos(t) dt = ∫_{0}^{9999 * π} cos(t) dt + ∫_{9999 * π}^{x} cos(t) dt = 定数 + ∫_{9999 * π}^{x} cos(t) dt
考えている x の範囲にかかわらず、 dx/dt = 1 / (dt/dx) = 1 / (1 / (2 * (cos(x/2))^2)) = 2 / (1 + (tan(x/2))^2) = 2 / (1 + t^2) だから、
∫_{9999 * π}^{x} cos(s) ds = ∫_{-∞}^{t} ((1 - t^2) / (1 + t^2)) * (2 / (1 + t^2)) dt = … = sin(x) + C
この計算結果自体は考えている x の範囲によらず、 sin(x) + 定数となる。
∫_{0}^{x} cos(t) dt は連続関数であり、 ∫_{0}^{0} cos(t) dt = 0 であるから、考えている x の範囲によらず、 ∫_{0}^{x} cos(t) dt = sin(x) である。
>>313 ありがとうございます。
杉浦光夫著『解析入門I』は、親切に？いろいろ書かなくてもいいようなことまで説明していますが、不定積分の置換積分については、そのような説明がないです。
A = lim[n→∞] Σ[k=1,n] (1/k^2)
B = lim[n→∞] Σ[k=1,n] (1/k)(sin(π/k))
を考える。
AとBは異なる実数値をとることを、計算機を使用せず示せ。
本の荒探しの才能はある
自分が気に入らない時は杓子定規に解釈する
スレ間違えて投稿してしまったためこちらに投稿します。
お願いします。
１辺が１の正方形の各頂点を中心とする半径rの円を考え、各円の周上にそれぞれ１点ずつP,Q,R,Sをとるとき、
四角形PQRSの面積の取りうる値の範囲を求めよ。ただし、0<r<1/2とする。
杉浦光夫著『解析入門I』
p.250
d(Δ) ≦ (d(Δ')^2 + d(Δ'')^2)^{1/2}
などという不等式が登場しますが、明らかに
d(Δ) = (d(Δ')^2 + d(Δ'')^2)^{1/2}
です。
「=」であるのに、「≦」、「≧」を使う理由はありません。
>>321 君は何を聞かれてるか理解していないマヌケてことね
>>323 r<1/2だから円は交点を持たないと
なら
最小は(1-r√2)^2
最大は(1+r√2)^2
定理5.6（変数変換公式）
関数f、φが次のⅰ)-ⅳ)を満たすと仮定する。
ⅰ)f(x)は区間I=[a,b]で連続、
ⅱ)φ(t)は区間J=[α,β]で微分可能、
ⅲ)dφ(t)/dtはJで有界可積分（例えば連続）、
ⅳ)φ(J)⊂I、φ(α)=a、φ(β)=b。
このとき、次の等式がなりたつ：
(5.8) ∫[a,b]f(x)dx=∫[α,β]f(φ(t))(dφ(t)/dt)dt
r>√2/4のとき
最小はr(1-4r^2)/2かな
>>332 誰が建てたとか全く関係ないんだが？お前がクズだってことが知れるだけだわ
とすると最大も違うかと思ったらこっちは大丈夫みたい
>>334 恐らく長方形（正方形）の時が最小だろうとはわかるけど、なぜ長方形の時になるのかがわかりません。
>>336 なんで即答しないと死ぬ爺、よく間違える（爆笑）
>>338 対角の2点ACを選ぶと
最小も最大も
残りの2点BDは
そこにおける接線が
線分ACに並行になる時だから
BDは中心対称
そのBDに対して同様の考察で
ACは中心対称
よって形状は中心対称な平行四辺形の4接点を結ぶ平行四辺形
うーんここからどうするかなあ
Aの偏角をaとするとBの偏角bは
(1/2-rcosa)/(1/2-rsina)=tanb
を満たすと
うーむここからどうするかなあ
力技で面積をa（とb？）で表す？
中心対称なBCに並行な接線の接点ADの4頂点は
そのような平行四辺形の面積の半分の面積の平行四辺形の4頂点
だから4円に接する平行四辺形の面積を最大または最小にすることを考えることになるか
>>334 >最小はr(1-4r^2)/2
(1-4r^2)/2
>>345 君なぜ数学板に居るの？居ない方がいいとと思うよ
身の振り方や立ち居振る舞いを考えないとね
∫[0,x]cos(t)dtを計算するのにtan(x/2)=tとおく、意味不明
>>98 楕円の接線の法線は楕円の中心を通るから、
最小値は短軸。
∴2b
凸四角形ABCDがあり、
AB＝BC＝CD、
角ABD＋角ACD＝180度 で、角ABD＜角ACD
を満たしている。
このとき 角DAC を求めるにはどうすれば求まりますか。
>>354 君の立場を補強するものとして出してきたとしたら間抜けね
f∈Map(A, A) ⇒ f∈Aをみたす集合Aはありますか？
A = {f}
f: A → A
f(f) = f
は集合になる？
>>357 通常の理解ではそのようなAは存在しないが
写像とは何かについて
通常とは別の定義をするなら
可能性がなくはないから考えてみたら？
二次元のコップに逆三角形を入れる問題です。
建築関係の実務で必要で、CADで作図すると(AC)間=9.318になりました。
ChatGPT も Copilot も違う回答（Ｃ点がコップ外など）でした。
１．コップの底辺長(L=102)、底辺の左側点(A)、右側点(B)とする。
２．コップ左側の内角(a=100度)、右側の内角(b=110度)とする。
３．コップの上に逆三角形「左辺長(M=28.247)、右辺長(N=105)、
下頂点を(C)、下頂点の角度(c=105度)」を置く。
４．コップに逆三角形を落とし、頂点(C)がコップの底辺(AB)に接し、
逆三角形の底辺左点(D)と底辺右点(E)もコップに内接。
５．コップ内で三角形が安定した時、点(A)の座標を0,0とすると、(C)のY座標も0になる。
６．距離(AC)を求める計算式と、できればエクセルの数式を教えて下さい。
問題文が間違っていたら指摘して下さい。
線分AB上に任意の点Pを取ります
AP=a、BP=b、a＜b とします
Pを通り線分ABと垂直に交わる線分上に
BP=PQ となる点Qを取ります
AQ=8 のとき、
一辺の長さがそれぞれa、b の
正方形の面積の合計はいくつか？
杉浦光夫著『解析入門I』
A が空集合であるときに、 ∫_{A} f がどうなるかについて全く記述がありません。
それにもかかわらず、 v(A ∪ B) + v(A ∩ B) = v(A) + v(B) などという等式を証明しています。
これって大きな問題ですよね？
>>357 写像とはλ記法によって表される文字列のことと解釈すれば
f=λx. x
が
(f f)=f
すなわち通常の記法では
f(f)=f
となる
これを計算機科学ではおかしなことをしていると解釈してはいけない
あるルールに従った文字列（λ式）の全体Λに対して
関数適用という（通常の意味での写像）
F:Λ×Λ→Λ
が定義されており
上記のfは
F(f,f)=f
を満たす文字列であるというだけ
>>361 Aが空の時
ΣA=0だから特に問題ないよ
aを実数の定数として 数列 {sin(a*2^n)} をみるとき
・aがpiの有理数倍なら 周期的
・そうでないなら区間[-1,1]でdense
になりますか。
また、
aを実数の定数として 数列 {cos(a*2^n)} をみるとき
・aがpiの有理数倍なら 周期的
・そうでないなら区間[-1,1]でdense
になりますか。
>>366 exp(ia2^n)を考えるといいでしょう
>>367 exp(ia2^n)を考えるといいでしょう
Q:コンピュータはどうやって動くの？
A:電気で動きます
なめとんのか
杉浦光夫著『解析入門I』
p.263
「
0 ≦ χ_A ≦ χ_{I_1} + … + χ_{I_m} であり命題3.1,5)によって
0 ≦ S(χ_A) ≦ v(I_1) + … + v(I_m) < ε
が成立ち、
」
と書かれています。
χ_A ≦ χ_{I_1} + … + χ_{I_m}
から
S(χ_A) ≦ v(I_1) + … + v(I_m)
はどうやって導くのでしょうか？
>>367 >・aがpiの有理数倍なら 周期的
そう言えば周期的なのでしょうか？
周期があるとしてそれがTとすると
cos(a2^n)=cos(a2^(n+T))
が全ての自然数nについて成立せねばならないので
a2^(n+T)=±a2^n+2mπ
とならねばならず
n=1とすると
a2^(1+T)=±2a+2mπ
a(2^T±1)=mπ
n=2とすると
a2^(2+T)=±a2^2+2m'π
a(2^T±1)=(m'/2)π
n=3とすると
a(2^T±1)=(m''/2^2)π
…
よりmは無限大にならざるを得ないのでは？
∫_{I_1 ∪ … ∪ I_m} χ_{I_1} + … + χ_{I_m} = v(I_1) + … + v(I_m)
は2次元の場合を考えれば直感的に成り立ちそうですが、どうｙって証明しますか？
Z/kで{2^n}が周期を持つかどうかよな
Z/3だと2,1,2,1,2,1,2…となる
Z/5だと2,4,3,1,2,4,3,1…となる
なるほど
2,4,8,16…でいずれ同じのが出たらあとは繰り返しか
そっから先
周期を持つわけだ
>>391 またお前か
数学しないやつは居てほしくないね
ほんとどうしてこいつは数学しないんだろ
ここでは数学する自由もあれば
数学しない自由もある
>>393 自由なんてないし
数学しないやつは要らない
The freedom of the mind is the beginning of all freedoms
>>397 数学していないと言いきれる根拠がないように思える
このスレに於いて数学を語っていないだけで、
他スレの書き込みだの内心だのについて断定できるなら証明して欲しい
Cを複素数体で普通の距離を入れたとき、
C^*（Cの乗法群で相対位相が入っているとします。）は位相群でしょうか。
位相群だとおもうのですが、証明ができません。
よろしくお願いします。
>>402 abs:C×→R+
arg:Cx→S1
が連続なのを証明したらどうかな
逆方向は包含
>>402 一様位相が違ってつからな
雰囲気として
C^* ≅ S^1 x R
C ≅ R x R
連続関数fが、高々可算個の実数xを覗いてf(x)=xになることが分かってるなら
すべての実数xに対してf(x)=xになると結論できますか。
>>405 g(x)=f(x)-xにして
その可算個の点には内点はないので
そのどの点のどの近傍にもg(x)=0の点があり
連続性からそのどの点でもg(x)=0
地球一周するロープの長さを
4万kmとする
地球表面から1mの高さで地球を
一周させるロープの長さは
4万km+何メートル必要になるか？
もしやして
>>366と関係あるのかもしれないですが
mを自然数とするとき、mod m で
数列 2,2^2,(2^2)^2, ((2^2)^2)^2,… は 十分先では定数列になる
ということはいえるす？
f:Zk→Zk
a1=a
a(n+1)=f(an)
m>n
am=an
a(m+1)=f(am)=f(an)=a(n+1)
f:Zm→Zm:f(a)=a^2
f(2^n)=2^n
2^(2n)≡2^n mod m
2^n(2^n-1)≡0 mod m
m|2^n(2^n-1)
m=2^ku (u,2)=1
k≦n
u|2^n-1
m=1152=2^7・9
φ(9)=6
2^6=64≡1 mod 9
2^12≡1 mod 9
7<12
n=12
2^12=4096≡640 mod 1152
640^2=409600≡640 mod 1152
m=2^ku (u,2)=1
φ(u):Euler function
n=kφ(u)
2^2^(n+1)≡2^2^n mod m
旧年からスルーされてる
>>352の
凸四角形ABCDがあり、
AB＝BC＝CD、
角ABD＋角ACD＝180度 で、角ABD＜角ACD
を満たしている。
このとき 角DAC を求めるにはどうすれば求まりますか。
を宜しくおながいします。
>>417 面倒くさそでよくわからないけど
余弦定理と
cosABD+cosACD=0
を使うんじゃないかな
杉浦光夫著『解析入門I』
p.270
「各 I_k を n 等分すると、上式から、その n 個の小区間に含まれる t に対応する曲線 C の弧は一辺の長さが 2 * d(Δ) * L / n の正方形に含まれる。」
と書かれています。
「一辺の長さが d(Δ) * L / n の正方形に含まれる」でもよいと思うのですが、なぜ杉浦さんは「一辺の長さが 2 * d(Δ) * L / n の正方形に含まれる」と書いたのでしょうか？
The freedom of the penis is the beginning of all freedoms
あと凸四角形の場合と凹の場合とそれぞれ考えなくちゃいけないのもめんどくさい感じ
The freedom of the mind is the beginning of all other freedoms
by Clinton Lee Scott
半径3の円Aが半径2の円Bに接して
フラフープのように移動する
【問題】
円Aが元の位置に戻るときに
何回転しているかを求めよ
From the east comes the sun, bringing a new and unspoiled day.
by Clinton Lee Scott
>>426 B上で接点の移動距離は4π
A上でも同じだけ移動するから
回転量は4π/6π=2/3回転
>>366 これaがπの無理数倍のとき正しいの？
{sin(a*n}} が区間[-1,1]で稠密なのは正しいハズだけど
{sin(a*2^n)} も稠密とほんとにいえる？
>>426 円Bの中心点から半径1の円の円周が
円Aの中心点の移動距離となる
円Aの中心点の移動距離
=接点の移動距離なので、
半径1の円の円周は2π、
円Aの円周は6πなので
2π/6π=1/3
∴1/3 回転
>>429 2進法で
0.10100100010000…
とかどう倍々頑張っても
0.11…
になり得ないでしょ
杉浦光夫著『解析入門I』
I ⊂ R^n とする。
f, g を I 上の実数値関数とする。
f を I 上可積分とする。
{x ∈ I : f(x) ≠ g(x)} が零集合であるとする。
このとき、 g は I 上可積分であり、
∫_{I} f = ∫_{I} g
である。
『解析入門I』に、この類の命題が全く書かれていないのはなぜでしょうか？
ただ可積分かどうかを判定する命題が書かれているだけです。
よろしくお願いします。
△ABCの垂心をTとし、線分TA,TB,TCの延長線上にTとは逆側にそれぞれ、A'、B'、C'をAA'=BB'=CC'=1となるようにとる。
△A'B'C'が正三角形となるとき、△ABCは二等辺三角形であることを示せ。
算数の宿題なのですが。
AB＝3、AD＝17の長方形ABCDにおいて、辺AD上にAE＝5となる点Eをとるとき、
角BECの大きさは何度か。
接吻の加法定理を使えばすぐ解けるのですが、
小学生算数の宿題とすればどのように解けますか。
>>441 当該スレは荒らしが住み着いて役に立たなくなってる
数直線上で、
有界閉集合とはいくつかの有界閉区間の合併でしょうか。
星型多角形の先端の角を求める式の解説を誰かしてくれませんか？
杉浦光夫著『解析入門I』のp.273の定理9.8系2
D をコンパクトな体積確定集合であると仮定していますが、有界な体積確定集合であれば成り立ちます。
このように仮定を強くしすぎるのは良くないことですよね？
実際、杉浦さんも、次のページの例9でコンパクトであるとは限らない面積確定集合である Dに対して、上の系2を適用しています。
杉浦光夫著『解析入門I』
p.276
定義4
R^n 内の有界な体積確定集合 A の一般分割 Δ とは、 A を有限個の空でない体積確定集合 A_k (k ∈ K(Δ)) の合併として
A = ∪_{k ∈ K(Δ)} A_k
と表わすことを言う。ただしその際
v(A_k ∩ A_l) = 0 (k ≠ l)
が成立つものとする。
任意の正の実数 δ に対して、
d(Δ) < δ であるような A の一般分割 Δ が存在することを証明なしに杉浦光夫さんは使っています。
これは証明を要するのではないでしょうか？
あ、 A を含む矩形 I をとって、 I の分割 Δ で d(Δ) < δ であるようなものを考える。
I の各小区間 I_k と A の共通部分 I_k ∩ A のうち空でないもの全体は A の一般分割である。
そして、任意の k に対して d(I_k ∩ A) < δ である。
定数数列は、n→∞の極限でその定数に収束するといっていいですか。
前
>>350 >>450 一筆書きで星を描くと、
内部に正対した正五角形を上下逆さにした正五角形が描ける。
正五角形の内角の和は、
三角形三つやさかい、
180°×3=540°
540°÷5=108°
(180°-108°)÷2=36°
∴36°
x^x の導関数を、対数微分を使わずに
((x+h)^(x+h) -x^x)/h の極限から計算して出すことはできないでしょうか。
>>458 f(x) = x^x = e^{x * log(x)}
f'(x) = (log(x) + 1) * e^{x * log(x)} = (log(x) + 1) * x^x
>>460 x+h乗の2項展開でってことでしょ
意味あるとは思えないけど
lim((x+h)^(x+h)-x^x)/h
=x^xlim(x^h(1+h/x)^(x+h)-1)/h
=x^xlim((x^h-1)(1+h/x)^(x+h)+(1+h/x)^(x+h)-1)/h
=x^xlim((1+h/x)^(x+h)(x^h-1)/h+((1+h/x)^(x+h)-1)/h)
=x^x(logx+lim((1+h/x)^(x+h)-1)/h)
みたいな感じ？
>>462 対数無しというのがloga使っちゃダメだってならキビシイかも
でも対数微分と普通呼ばれている
f'(x)=f(x)(logf(x))'
でショートカットはダメってことならなんとかなるでは？
何とかなっても
これ自体は意味あるとは思えないけどさ
r > 0
0 < θ < φ < π/2
Φ : [0, r] × [θ, φ] ∋ (x, y) → (x * cos(y), x * sin(y)) ∈ R^2
A := {(x, y) ∈ R^2 : x ∈ [0, r * cos(Φ)], tan(θ) * x ≦ y ≦ tan(Φ) * x}
B := {(x, y) ∈ R^2 : x ∈ [r * cos(Φ), r * cos(θ)], tan(θ) * x ≦ y ≦ √(r^2 - x^2)}
とする。
Φ([0, r] × [θ, φ]) = A ∪ B
が成立つことを証明せよ。
次の4つの数字の間に
+ - × ÷ のいずれかの演算記号を入れて
10を作りましょう
８ ８ ９ ６
条件は
1 数字の順序は変えない
2 数字間の三カ所に
演算記号をひとつずつ入れる
3 同じ演算記号を使ってもよい
4 カッコも使える
>>467 >対数無しというのがloga使っちゃダメだってならキビシイかも
logaと書かなくてもa^x=e^cxであるcが存在することを使えば
(a^x)'=lim(a^(x+h)-a^x)/h
=a^xlim(a^h-1)/h
=a^xlim(e^ch-1)/h
=ca^xlim(e^ch-1)/ch
=ca^xlim(e^h-1)/h
=ca^x
とはなるけど
lim(e^h-1)/h=1
も
lim(e^h-1)/h=limk/log(1+k)=lim1/log(1+k)^(1/k)=llm1/loge=1
とかするからlogの微分（係数）を使ってはいるよな
対数概念なしではe^xも微分出ないのでは
R^2 ∋ (x, y) → (x * cos(y), x * sin(y)) ∈ R^2 はリプシッツ連続であることを示せ。
>>475 なんの変哲もない
回転と積だけでめ
んどくさいだけか
杉浦光夫著『解析入門I』
I ⊂ R^n を直方体とする。
Φ : R^2 ∋ (r, θ) = (r * cos(θ), r * sin(θ)) ∈ R^2 とする。
A = Φ(I) とする。
f(x, y) を A 上可積分とする。
I の分割を Δ とする。
I_{ij} （i = 1, …, m, j = 1, …, n）を分割された小長方形とする。
∪Φ(I_{ij}) は Φ(I) の一般分割である。
J_{ij} = Φ(I_{ij}) とする。
Δ に対応するこの一般分割を Δ' とする。
d(Δ) を Δ の直径とする。
d(Δ') を Δ' の直径とする。
Φ は I 上で一様連続だから、d(Δ) → 0 のとき、 d(Δ') → 0 である。
杉浦さんは、
lim_{d(Δ) → 0} Σ f(ξ_i, η_j) * v(J_{ij}) = ∫∫_{I} (f・Φ)(r, θ) * r
が成立つことを証明し、
∫∫_{A} f = ∫∫_{I} (f・Φ)(r, θ) * r
であると結論しています。
ですが、本当に示さなければならないのは、
lim_{d(Δ) → 0} Σ f(ξ_i, η_j) * v(J_{ij}) = ∫∫_{I} (f・Φ)(r, θ) * r
ではなく、
lim_{d(Δ') → 0} Σ f(ξ_i, η_j) * v(J_{ij}) = ∫∫_{I} (f・Φ)(r, θ) * r
です。
d(Δ') → 0 のとき、 d(Δ) → 0 はどうやって示すのでしょうか？
10＾2025をaとするとき、7^a-1 は2で埼大何回われますか。
松村「可換環論」の定理2.5の証明がわかりません。
定理2.5
(A, m)を局所環、MをA上有限生成射影加群。
このとき、Mは自由加群。
(ω_1, ..., ω_n)をMの極小基。
（M/mMをA/mベクトル空間と見たときの基底の原像になっているもの）
F = Aω_1⊕...⊕Aω_nとおく。
全射φ: F → M (φ(⊕a_iω_i) = Σa_i ω_i)の核をKとする。
(ω_i)の取り方から、K⊂mF。
Mは射影加群だから、ψ: M → Fで、φ○ψ = id_Mとなるものが取れる。
よって、完全列0 → K → F → M → 0が分裂するので、F～ψ(M)⊕Kとなる。
これから、K = mK。 ←これをどう示すのかがわからないです。
はじめまして
確率の問題で分からないことがあるので計算方法を教えて下さい
あるガチャガチャがあります。
中身は
アタリA 3.3%
アタリB 3.3%
アタリC 3.3%
ハズレ 90.0%
となっておりアタリやハズレを引いても無限に補充され続けます（常にこの確率です）。
また10回毎にアタリ確定がありABCのどれかが1/3で出てきます。
このガチャガチャでアタリ3種を5個づつ手に入れるには何回回せばいいでしょうか？
アタリ3種を10個づつだったら何回回せばいいでしょうか？
>>480
mF=mω1+…+mωn
F/mF=(A/m)ω1+…+(A/m)ωn=M/mM
mK→ mF→ mM
|| ↓ ↓
K → F → M
↓ ↓
F/mF=M/mM 何処にもそんな棲み分けルール書いてないだろうに
性格ひん曲がってるドクズがいるなあ
>>482 高校数学スレで昔解いたことがあるけど
もうやり方忘れた
コンプリートガチャ問題は
この論文の公式を使えば理論上は解ける
http://danielegardy.github.io/SourcesPubli/FlajoletGardyThimonier_DAMIN.pdf もっと簡単な問題として
3種類が均等に出るハズレ無しのガチャで
3種類すべてを1つずつ揃えるまでの平均回数は
(3/3)+(3/2)+(3/1)=1+1.5+3=5.5回
質問の例だと
10連ガチャで当たりが平均1.9回なので
回数を(10/1.9)倍することになる
>>487 ルールを書いてあるスレのルールはガン無視してるのによく言えるな
>>482 まともに答えるなら前者、後者共に解無し
>>488 >コンプリートガチャ問題
まともに考える気力がないけど
確かそういうのって
負の二項分布っていうんじゃなかったっけ？
違ったラごめん
ただのコンプ問題じゃなくて、確変をぐちゃぐちゃマジェマジェした問題じゃん
積分使うんだとは思うけど
私にはムリなのでよろしくお願いします
>>494 >積分使う
の場合は
S=4(∫[π/3,π/6]sinθdcosθ-(cosπ/6-1/2)sinπ/6)×6^2
で
∫sinθdcosθ
=sinθcosθ-∫cosθdsinθ
=sinθcosθ-∫cosθcosθdθ
=sinθcosθ-∫(1-sinθsinθ)dθ
=sinθcosθ-θ+∫sinθsinθdθ
=sinθcosθ-θ-∫sinθdcosθ
∫sinθdcosθ=(sinθcosθ-θ)/2
より
S=144([(sinθcosθ-θ)/2][π/3,π/6]-(√3-1)/4)
=144(π/12-(√3-1)/4)
=12π+36-36√3
使わない場合は
36-(4(36-9π)-4(36-3π-9√3-3π))
=36+12π+36√3
>>497 >=36+12π+36√3
=36+12π-36√3
>>494 S=6*6 - 4*x
x=π*6*6/4 - y
y=2*π*6*6/6 - 3*3*√3
∴S=...
どの図形を差し引きしてるのかこれで分かるんじゃないかな
出典は2023年4月のヤフー知恵袋かな
同じ画像が高校生用質問スレにも昨年末に来てた
NHK実況にも投げてた模様
曲線は閉集合ですか？
S ⊂ R^2
f : S ー> R^2
S の境界は f(S) の境界に一致しますか？
このようなことを詳しく扱う分野はありますか？
R を長方形とする。
A を平面上の集合とする。
R が A の閉包と交わるが、 A の内部には含まれない。 ⇔ R は A の境界と交わる。
上記の同値は「R が連結であることに注意すればわかる」とある本に書かれています。
R が直方体ではなく、連結でもないときにも上の同値は成立つように思いますが、どうでしょうか？
Aは自明なので、とか、Bは自明により、
などと証明に記載があることがありますが、
勉強不足の自分には何が自明かよくわかりません
こういう書き方は証明では当たり前なのでしょうか
R を長方形とする。
A を平面上の集合とする。
R が A の閉包と交わるが、 A の内部には含まれない。 ⇔ R は A の境界と交わる。
これって本当に成り立ちますか？
証明を書いてみてください。
なんか A をうまく作れば反例がありそうな気がします。
>>505 ・・・当たり前だと知らないと当たり前では無いか
もう1点: 明らかに, 明白に, 容易になどの言葉をずうずうしくたくさん用いた. それは, 状況をぼんやりさせるために用いているのではない. 逆に, それは読者の理解をためしているのであり, 省略された理由が明白に容易にに納得できないならば, 少し手前までもどりそこから新しく出直した方がよいであろう.
Lars V. Ahlfors
2*x^y-y^x=10 の自然数解は(x y)=(3 2)だけでしょうか。
欲しかったら立てればいいとおもうよ
需要ありそうだし
>>482 10連ガチャの問題、計算式だけ立ててみた
ガチャを引く回数 N 回
(通常ガチャ回数 n=N-int(N/10)、
確定ガチャ回数 n'=int(N/10))
以内にアタリ3種類が少なくとも
m=5 回ずつ揃う確率 P(C_m≦N) の計算式は
P(C_m<=N)
=∑[a+b+c+x=N, m<=a, m<=b, m<=c, 0<=x<=n] (
(n!/(x!(n-x)!))((1/10)^(n-x))((9/10)^x)
*((a+b+c)!/(a!b!c!))((1/3)^a)((1/3)^b)((1/3)^c)
)
確率が 1/2 を超える中央値は
100～120 回くらいになりそう
>>516の続き
変数を動かして総和をとるシグマ記号を
x, a, b, c の4重の繰り返しに書き直すと
P(C_m<=N)
=∑[x=0, min(n, N-3m)](
∑[a=m, x+m](
∑[b=m, x+(a-m)+m](
∑[c=m, x+(a-m)+(b-m)+m](
((a+b+c)!n!/(a!b!c!x!(n-x)!))
*((9^x)/((3^(a+b+c))(10^n))
))))
これをC言語など任意のプログラムで表せば
中央値、達成率90％・95％・99％に
対応する回数の計算や
ヒストグラムの描画などができるはず
いつもプログラムを書いているかた
あとはよろしくですー
偽物さんこんにちは
会いたかった常連の人は土日は休みかな？
役に立ってもらういい機会だと思うので
週明けまで気長に待つことにします
プログラム利用の演算CPU任せは高校数Ⅰ
しかも純粋数学科分野ではなく応用数学科分野
自称医師詐欺者はお帰り下さい
医者嫌いさんこんにちは
いつものお医者さんはまだ来てないみたいですね
式さえあれば高校生の自由研究レベルなので
高校スレ常連の彼に任せるのが一番
という点では同意します
きのう隔離スレを荒らしに来たのは3人だから
これで全員かな
今後ともよろしくお願いします
いや俺に関してこのスレは1年弱ぶりに書いた
普段は高木を罵ってる
正の整数xで、
(x+45)(x-45)=2*A^m (mは3以上の整数、Aは正の整数) の満たすようなものはありますか？
mが2ならいくらでもあるのですが。
おお、ありがとうございます！
>>528 もしかすると、任意のm≧3に対して解が1つ以上あるのでしょうか。
指数が絡む等式の整数解を探す問題は
証明に整数論とか楕円関数とかを使うから
高校数学でなくここでいいと思う
あっちのスレでも全部スルーされてるし
そういうのて
宇宙際モノで
ビュビュンと
解決とかに？
>>531 お前が高校生の質問スレでこたえればいいだけ
杉浦光夫著『解析入門II』
p.7 「(√2/2, √2) で < 0」と書かれていますが、「(√3/2, √2) で < 0」が正しいですよね。
例2は、
f(x, y) = (x^2 + y^2)^2 - 2 * (x^2 - y^2) とする；
曲線 f(x, y) = 0 の概形がどうなるのかを求めるという例ですが、
第一象限のみを考えて、 y = g(x) と解いたときに、 x = √3/2 で g'(x) = 0 になるのは分かります。
ですが、 g が (0, √3/2) で単調増加、 (√3/2, √2) で単調減少というのはこの流れでどうしたら分かるのでしょうか？
g はC^1級なので、中間値の定理から (0, √3/2) および (√3/2, √2) でそれぞれ定符号なのはすぐに分かります。
ですが、 g'(x) が (0, √3/2) で常に正、 (√3/2, √2) で常に負というのはどうして分かるのでしょうか？
y^2=-(x^2+1)+√(4x^2+1)
2y*y'=-2x+4x/√(4x^2+1)=2x(-1+2/√(4x^2+1))
次の問題を教えて下題
任意の素数pに対し、ある自然数nをとると6^n+3^n+2^n-1をpの倍数にできることを示せ。
n=2の時 36+9+4-1=48 なので素数2,3は解決
以下、5以上の素数pについて考える
6^(p-2)+3^(p-2)+2^(p-2)-1
=(1/6){6^(p-1) + 2*3^(p-1) + 3*2^(p-1)} -1 ; 中括弧の中は6の倍数
=(1/6){a*p+1 + 2*(b*p+1) + 3*(c*p+1)}-1 ; フェルマーの小定理
=(p/6){a + 2*b + 3*c}
この式は、問題において、n=p-2 としたものがpの倍数であることを示してる
2≦a≦b≦cであり、(ab-1)/c, (bc-1)/a, (ca-1)/bがいずれも自然数になるような自然数a,b,cを全て求めてください。
>>538 ありがとうございました。
その方法で、 g'(x) = 0 になる点が x = √3/2 であることも分かります。
ですが、杉浦さんはもっと素朴な方法で g'(x) = 0 になる点を計算しています。
杉浦さんが x = √3/2 が極大点であると結論付けたのはおそらくレムニスケートの形を知っているから数学的に証明することなくそう書いたのだと思います。
f(x, y) = (x^2 + y^2)^2 - 2 * (x^2 - y^2) = 0
f_y(x, y) = 4 * y * (x^2 + y^2 + 1) = 0 になる点はちょうど、 (-√2, 0), (0, 0), (√2, 0) です。
杉浦さんは、陰関数定理の証明と同様の論法で、 f(x, g(x)) = 0 となる (0, √2) で定義された C^1（C^∞）級の関数 g(x) が存在することを証明しています。
g(0) = g(√2) = 0 です。
レムニスケートを描画した図を見てみると、 g は [0, √2] で連続であることがわかります。
これは何か一般的な命題から保証されることでしょうか？
f(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0 について考えた場合にも同様に、
陰関数定理の証明と同様の論法で、 f(x, g(x)) = 0 となる (-1, 1) で定義された C^1（C^∞）級の関数 g(x) が存在することが分かります。
今回の場合も g は x = -1 および x = 1 で連続になっています。
これらのことは単なる偶然なのか、何かの命題で保証されることなのでしょうか？
>今回の場合も g は x = -1 および x = 1 で連続になっています。
この書き方は不正確なので訂正します。
f(-1, y_0) = 0 を満たす y_0 に対して、
lim_{x → -1+0} g(x) = y_0 が成り立ち、
f(1, y_1) = 0 を満たす y_1 に対して、
lim_{x → 1-0} g(x) = y_1 が成り立つという意味です。
m^2+m+1=n
を満たす整数(m,n)の組をすべて決定せよ。
>>482 言い出しっぺなのでC言語のプログラムで計算した
3種類×5セット＝15枚を揃える場合
成功率50％：108回 75％：127回 90％：150回 95％：160回 99％：196回
3種類×10セット＝30枚を揃える場合
成功率50％：200回 75％：222回 90％：250回 95％：270回 99％：310回
これも釣り針と言われそう
>>541 ありがとうございます。
5行目に出てくるabcってなにものですか。
合同式
x≡y (mod p)
は、xとyは、pで割った時の余りが等しいという意味ですが、
もしxがpより大きく、yが0≦y＜ｐなら、
xをpで割った時の余りがyだと読み替えることもできます。
この時の商をaとすると、
x=a*p+y
と書けます。
541のa,b,cは合同式を等式に書き直す時に必要な整数定数です。
なるほど。「pの倍数」をa*pとおいたということですね。
abc≦a+b+cかつ1≦a<b<cを満たす整数の組(a,b,c)をすべて求めよ。
次の問題の解き方をおしえてください。
nを3以上の自然数とする。1,2,…,nの中から、連続しない2つの異なる自然数の積の総和を求めよ。
>>557 1からnまでの数2つの積(重複を許す)全体から
2乗の和、連続する2数の積の和を引く
求める値は
(∑[k=1,n]k)^2-∑[k=1,n](k^2)-∑[k=1,n]{(k-1)k}
>>558 連続する2数の積の和、は2通りを考えて
(∑[k=1,n]k)^2-∑[k=1,n](k^2)-2×∑[k=1,n]{(k-1)k}
だった
あとは∑k, ∑k^2の公式を使えば一般項が求まる
>>559 さらに訂正
この式だと計算結果も2通りを数えているので
全体を2で割る必要がある
(1/2)×[ (∑[k=1,n]k)^2-∑[k=1,n](k^2)-2×∑[k=1,n]{(k-1)k} ]
計算結果を因数分解すると
((n+1)C4)/(2^3)
のような規則性のある式になるはず
他にも、数え方を
1×3+(1+2)4+(1+2+3)5+...+(1+...+(n-2))n
とすれば、計算式は
∑[k=1,n-2]((k+2)∑[j=1,k]j)
となる
答えは同じ
納k=1,n]{(k-1)k} を引く、という考え方に思い至りませんでした。
ありがとうございました。
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