理屈は分かるけど、なんか腑に落ちない。
wikiの証明読んだし、理解はできるけど、騙された気分になる。
なんで？
ちな数学専門じゃないからお手柔らかに。
無限絡みの操作は直感に反することだらけ
ってことをちゃんと心にとどめておくことさえできてればいいんじゃないの？
納得しなくても
まず根本的に表記が違っても同じ数字に成り得ることを理解すべし
例えば1.000と1は同一の数字を表す
この例は当たり前に見えるだろうけど、じゃあ0.999...と1は？と問われたとき、頭ごなしに「違う」とは言わないで欲しい。だって、違う表記でも同じ数字であることは有り得るんだから。
では0.999...と1は同じか？
これは『0と0.000...が同じ数字（0=0.000...）』ということを認めれば直ちに示せる。
（証明）1-0.999...=0.000...=0
よって1-0.999...=0なので移行して1=0.999...となる。
まあそれが実数の定義みたいなもんだし腑に落ちないのもしゃーない
コーシー列とか理解できるようになるとそういうもんかと腑に落ちる
理屈は分かるのに腑に落ちないのは、それが数学の決まり事だからではないでしょうか
例えば、四則演算(計算)をするときに下記の決まり事(計算の順序)があるように
1.足し算と引き算だけ、あるいはかけ算とわり算だけの計算をするときは、先頭から(左から)順に計算
2.加減乗除が混ざっているときは乗算を先に計算
3.式の途中に(括弧)があるときは ( ) の中を先に計算
0.999…=1も数学の決まり事だからだと考えられます
ひと昔前までは、0.999…≠1または0.999…≒1でした。なので、もしかすると今後また変わるかもしれません。しかし今現在は0.999…=1が正しいという数学の決まり事
>>2
そりゃ良かったな。俺はチョコの方が好きだけど
>>3
なんか負けた気がするんよね。高校の頃はlim[n->∞](1/n)=0って当たり前に使ってたけど...
>>4
「0と0.000...が同じ」ことを認めたら、0.99...=1を認めてるのと同じだよね？示すも何も同値っていうかさ...
>>5
コーシー列ね。ありがとう勉強してみる。
>>6
数学の決まりって言われちゃ終わりだね。
0!=1 も a^0=1 (a∈R\{0}) も決まりだと飲み込んではいるし、そうなる根拠も理解したけど、未だに不思議に思ってる。 >>7
0.000...は"任意の下桁が0"なんだよね。それは0でしょ。
元より実数には『無限小』は存在しないんだから0.99...が実数である限りそれは1にならざるを得ない
（実数じゃないなら知らなーい。超実数の話になるのかな？） 0.00...＋0.00... =0.00...
なので、この時点で0.00...=0ですね
経験主義 合理主義
でぐくれ
納得を判断基準に置いてる時点でダメなんだよ
理解の問題じゃない
脳の問題
だって0.999…の定義が無限級数なんだから当然でしょ
実数の表示は一意ではないことを受け入れろ
０に限りなく近いが０ではない
１に限りなく近いが１ではない
認識は近似
=ではないが=とする
不確定性原理が意味することです
認識はケンチャナヨ
座標原点て運動を静止で規定している
有を無で
規定は否定
わたしは植物でも金属でもないが物理として同一
わたしは運動変化して同一であることは無いが<同一>で規定
静止は運動の一形態
ディラックの海考えたら真空はエネルギーの一形態
無は有の一形態
光速度一定の原理は絶対座標、静止の存在を否定する
つまり運動が自然の存在形態
自然は運動するエネルギーの濃淡
つまりパルメニデスの自然観<一>が正しい
一をその否定である多、つまり数で規定する
決定不能は否定で規定するから
認識の在り方、性格を理解すればいろいろ了解できる
数一般は存在しない
有を無で規定する
規定するからいろいろ問題が出てくる
生物非生物は物理の差異で否定関係ではない
→ウイルスは分類困難性は分類するから
因みに次元は認識の在り方に現象する物理の抽象
カント、ヘーゲル、不完全性定理、観測問題など
クレタ人の逆説は否定で規定するから
運動は自然理解、否定は論理理解の導きの糸
理解とはを理解すること
規定は自然には存在しない
現象君！？
数学は認識論じゃないよ！？
数学音痴は巣に帰ろうね？？
無限小数を無限級数で定義するなら0.999…=1
安達弘志は極限を理解できない国文バカ
バカボンパパは数学を哲学と勘違いしてる哲学バカ
開区間(0, 1)の開被覆を考えたら0.999…≠1は明らか
>>20
お前が何言いたいのかはうっすら分かるがそれなら閉被覆でいいだろ ＝ってことは無いんだよ
そうしましょうって約束事でしかない
1/3 = 0.33...
1/3 * 3 = 0.33... * 3
1 = 0.99...
問題ないように思える
限りなく1に近ずいて行ってるんだから1だよねっていう
>>26
=ってことは無いから
だから=で良いって事 全て違う値なのに=
でもそれが理解するってことかも
左辺は実数じゃない、実数じゃないんだ
0.999...なんて実数は存在しないんだ
Σ[k=1→n]9/10^kを簡潔に表しただけなんだ
実数として見るから1じゃないんじゃね？なんて疑念が生まれるんだ
∠ACFなんて目盛りのついた分度器がこの世に存在しないのと一緒なんだ
>>30
>0.999...なんて実数は存在しないんだ
0.999...:=lim[n→∞](Σ[k=1→n]9/10^k)が実数ではないと？
頭大丈夫？ >>30
>Σ[k=1→n]9/10^kを簡潔に表しただけなんだ
それは有限小数だから違うね
頭大丈夫？ 自然には数は存在しない
有限の中の無限の数
光速度一定の原理から有限は存在しないことが解る
無限の数ももちろん存在しない
無の中の無
観念の中にのみ存在する
無の存在という背理
無＝無
ああ、この意味なら＝か
規定は否定
有限は無限ではない
数は有限でも無限でも同じ
有限の中の無限
無限の中の有限
まあすべて違うのに同じってのは面白いけど
0に限りなく近いが０ではない
規定は否定だから
有を無で規定する・・・
理解の鍵は単純なところにある気がする
>>34
>0に限りなく近いが０ではない
限りなくとは？
どうだったら限りなく近く、どうだったら限りなく近くはないと？
>理解の鍵は単純なところにある気がする
そう、単純だ、実数論の初歩の初歩だ
おまえが理解できないだけ 俺もわからんわ
1を3で割るだろ？＝0.333333－－－
0.3333333－－に3かけると 0.999999
1にならんねんなんでこうなるんや？？
>>38
無限小数の掛け算のやり方がそのやり方で正しい保証はどこから？ 1/3 = Σ[k=1→∞]3/(10^k)
と定義すると
Σ[k=1→∞]3/(10^k) * 3 = Σ[k=1→∞]9/(10^k)
>>40
定義するとっておかしいでしょ
1/3は3の実数体における積に関する逆元という定義があるんだから
1/3の10進展開が右辺になるというだけ >>41
無限小数の足し算定義してwell definednessチェックしてから使えよ 0.999...を定義せずに等しいだの何だの議論するのが意味不明
>0.999...を定義せずに
だから0.999...:=lim[n→∞](Σ[k=1→n]9/10^k)だと
lim[n→∞](Σ[k=1→n]9/10^k)
=1-lim[n→∞](1/10^n)
=1
0.999...:=lim[n→∞](Σ[k=1→n]9/10^k) と定義する限り厳密に1と等しい。
だから1と等しくない派は別の定義を示さなければならない。
ちなみに無限を理解できない国文バカ安達弘志は
0.999...:=0.9 or 0.99 or 0.999 or ・・・ と定義した。
>>1
0.99999･･･を「近づいていく過程の全体」と捉えるか「近づいていくその近づき先」と捉えるかの違いで一致していると考えても違うものと考えても良い たとえば0に収束する数列の全体を無限小と定義して
0.9999…は
0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, …という数列
1.0000…は
1.0, 1,00, 1,000, 1,0000, …すなわち1,1,1,1,…という数列と考えることができるので
両者の差は
0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, …という無限小となるてわけ
こう考えると別物ということになる
そりゃ数列と考えるなら別ものだろ
0.9, 0.99, 0.999, …
と
0.99, 0.999, 0.9999, …
だって別ものなんだからｗ
0.99999…は
①1より大きくない
②1より小さい全ての数よりも大きい
という性質を持っている数である(ここはそういうもんだと納得してください)
1と0.99999….が別の数だと仮定しよう
すると、①の性質より、それらの平均は0.99999…よりも大きくて1よりも小さい数になる
でも、これだと、②の性質と矛盾してしまう
つまり、仮定が違っていたということなので1と0.99999…は同じ数なのだ！！
>0.99999…は
>①1より大きくない
>②1より小さい全ての数よりも大きい
>という性質を持っている数である(ここはそういうもんだと納得してください)
1 > (1+0.999…)/2 > 0.999… なので納得できない
>>53
ウーン…
そこは0.99999….の定義として書いたからなあ…
0.99999…より大きくて1より小さい数は存在しないよっていう
(かなり直感的な定義であるのは否定できないけど)
無限級数を使わないで、感覚的に納得しやすい定義を考えようとはしたんだけど、そこが納得できないっていうなら級数の方に軍配が上がるのかな… >>51
別物だけど？それらは全て無限小の差ってこと それと無限小数を数列と考えるやり方は限定して考えてもいいしね
無限小なる定義を追加することに「同じ極限を持つ異なる数列」を言い換える以上の意味があるの？
モピロン、超突然ですが、超昔の
高校生の頃に閃いた問題とその怪答だが
モピロン、超正解ですか？
Q) lim[n→∞](r^n) ＝ 1/2となる実数rを
解きなさい。
A) r ＝ 0.999…
【蛇足】出題者 👾 怪答者 👾
Q) lim[n→∞](r^n) ＝ 2 となる実数rを
解きなさい。
A) r ＝ 1.000…
【蛇足】出題者 👾 怪答者 👾
>>52
0.999…のあとに0.5でいいんジャね？ 結局この問題は無限小の存在を認めるか認めないかに帰着する
無限小の存在を認めない場合、0.99... = 1になる
じゃあ無限小の存在を認めたら0.99... = 1は間違いなのかというとYES
「俺は無限小の存在を認めないから0.99... = 1は間違い」といえばいいよ
ちなみに無限小の存在を認めるといろいろ不都合が起こるらしいが
じゃあどんな不都合がおこるの？って以前数学スレで聞いたけど
それまでイキってた奴ら誰一人まともに答えることができなかった
そんなあやふやな理解で人様にあれこれ言ってるレベルの人間が集まってるところだよここは
実数には無限小がないからなあ
無限小を含めると超実数になっちまう
「無限小を認めるなら 0.999…≠1 である」というのは、実は間違っている。
たとえば、無限小を含む体系として超実数体がある。任意の(0以上1以下の)超実数は
0.a_1a_2a_3…；…a_{ω－1}a_ωa_{ω＋1}…
という形に無限小数展開できて、いわゆる「無限桁目」に相当する桁が新たに導入される。
一方で、「0.999…」とは「どの桁も9である数」を意味する。
従って、超実数体における「0.999…」の対応物は
0.999…；…999… (無限桁目も全て9)
というものになる。そして、実は 0.999…；…999…＝1 である。
すなわち、超実数体で考えても "0.999…＝1" が成り立つ。
よくある誤解としては、
・ 無限小ε＞0を1つ取って、1－εのことを "0.999…" と定義すれば 0.999…≠1 である
というものがある。しかし、0.999… をこのように定義してしまうと、
「どの桁も9である」という性質を満たさない。たとえば、超実数体でこのように定義した場合、
1－ε ＝ 0.999…；…a_{ω－1}a_ωa_{ω＋1}…, ある無限大超自然数nに対して a_n≠9
と無限小数展開できて、右辺は「どの桁も9である」を満たさない。
すなわち、1－εのことを "0.999…" と定義する流儀は、
「どの桁も9である」という根本的な思想から外れるので、
0.999… のことを勘違いしており、0.999… の適切な定義としては認められない。
無限小を数とするのは超実数だけど
普通は無限小は過程だから1と0.9999･･･の差が無限小でいいんだよ
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