【質問者必読！！】
まず>>1-4をよく読んでね
数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答を心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ててください。
※前スレ
高校数学の質問スレPart400
http://2chb.net/r/math/1559743596/ 主な公式と記載例
(a±b)^2=a^2±2ab+b^2
(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3
a^3±b^3=(a±b)(a^2干ab+b^2)
√a*√b=√(ab)、√a/√b=√(a/b)、 √(a^2b)=a√b [a > 0、b > 0]
√((a+b)±2√(ab))=√a±√b [a > b > 0]
ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)=0 [a≠0、α+β=-b/a、αβ=c/a]
(α,β)=(-b±√(b^2-4ac))/2a [２次方程式の解の公式]
a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)=2R [正弦定理]
a^2=b^2+c^2-2bccos(A) [余弦定理]
sin(a±b)=sin(a)cos(b)±cos(a)sin(b) [加法定理]
cos(a±b)=cos(a)cos(b)干sin(a)sin(b)
log_{a}(xy)=log_{a}(x)+log_{a}(y)
log_{a}(x/y)=log_{a}(x)-log_{a}(y)
log_{a}(x^n)=n(log_{a}(x))
log_{a}(x)=(log_{b}(x))/(log_{b}(a)) [底の変換定理]
f'(x)=lim_[h→0] (f(x+h)-f(x))/h [微分の定義]
(f±g)'=f'±g'、(fg)'=f'g+fg'、(f/g)'=(f'g-fg')/(g^2) [和差積商の微分]
基本的な記号の使い方は以下を参照してください。その他については>>1のサイトで｡
■ 足し算/引き算/掛け算/割り算（加減乗除)
a+b → a 足す b （足し算) a-b → a 引く b （引き算)
a*b → a 掛ける b （掛け算) a/b → a 割る b （割り算)
■ 累乗 ^
a^b a の b乗
a^(b+1) a の b+1乗
a^b + 1 （a の b乗） 足す 1
■ 括弧の使用
a/(b + c) と a/b + c
a/(b*c) と a/b*c
はそれぞれ、違う意味です。括弧を多用して、キチンと区別をつけてください｡
■ 数列
a[n] or a_(n) → 数列aの第n項目
a[n+1] = a[n] + 3 → 等差数列の一例
Σ[k=1,n]a_(k) → 数列の和
■ 積分 （ "∫"は「せきぶん」「いんてぐらる」「きごう」「すうがく」などで変換せよ（環境によって異なる）∮は高校では使わない）
∫[0,1] x^2 dx = (x^3)/3|_[x=0,1]
■ 三角関数
(sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1 cos(2x) = (cos(x))^2 - (sin(x))^2
■ ベクトル
AB↑ a↑
ベクトル：V=[V[1],V[2],...], |V>, V↑, vector(V)
（混同しない場合はスカラーと同じ記号でいい．通常は縦ベクトルとして扱う．)
■行列
（全成分表示）：M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...],[0,1,0,...],...]
（行（または列ごと）に表示する． 例）M=[[1,-1],[3,2]])
■順列・組合せ
P[n,k]=nPk, C[n.k]=nCk, H[n,k]=nHk
■共役複素数
z=x+iy ( x , y は実数 ) に対し z~=x-iy （問題）a>0とする。平面上の円x^2+y^2=25と放物線y=(x-a)^2が接するとき、接点の座標及び接線の方程式を求めよ。
（答え）
接点の座標は、
(2a/3,1)
接線の方程式は、
y=-2ax/3+1+4a^2/9
>>5
放物線y=(x-a)^2が接する接点の座標は、(x,y)=(2a/3,1) だという
放物線y=(x-a)^2はその接点を通るから、1=((2a/3)-a)^2 であるはずだ
これを解くと、(aは正の数だから) a=3 でなければならないが、
はたして、円x^2+y^2=25は接点とされる(2a/3,1)つまり(2,1)の座標を通るのだろうか？ 前>>8
円と放物線の接線を、
y=-bx-c（b＞0,c＞0）
とおくと、
接点の座標は、
(a-b/2,a/b-1/2)
（0＜a-b/2＜5,0＜a/b-1/2＜5）すなわち、
（0＜2a-10＜b＜2a）
放物線上にあるから、
a/b-1/2=(a-b/2-a)^2
a/b-1/2=(-b/2)^2
4a/b-2=b^2
b^3+2b-4a=0
（a＞0,b＞0）
円周上にあるから、
(a-b/2)^2+(a/b-1/2)^2=25(a-b/2)^2(1+1/b^2)^2=25
（0＜a-b/2＜5,0＜a/b-1/2＜5） >>5
まずaを求めないとね。
x^2+(x-a)^4=25 という4次方程式が重解を持つ条件を考えれば
いい。X=(x-a)とおいて、この方程式をXで書き換えると
X^4 + X^2 + 2aX + a^2 -5 =0 になるから、この方程式の
判別式は、
D= 256γ^3 - 128(36αβ^2 +4α^4)γ - (27β^2+4α^3)β^2
（ただし、α=1, β=-2a、γ=a^2-25)
cf. http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~myoshida/stlasadisc.pdf
A=a^2とおくと、D=0 はAの3次方程式となり、その実数解は、
(1/48) {1199 + [58373999 - 647760 sqrt(8097)]^(1/3) + [58373999 + 647760 sqrt(8097)]^(1/3)} = 36.08…
なので、a=sqrt(A)=6.0…
と、とりあえず３次方程式の解の公式さえ知ってればaは求まる。
一方、接線を共有することから、-x/y=2(x-a) より、
2(x-a)^3+x =0 という３次方程式を解くと、
x = {sqrt(81 a^2 + 6) - 9 a}^(1/3)/6^(2/3)
- 1/{6^(1/3) (sqrt(81 a^2 + 6) - 9 a)^(1/3)} + a
=4.679…
y=(x-a)^2=1.76…
接点の座標はおよそ(4.68,1.76) 前>>9再開。
円と放物線の接線を、
y=-bx-c（b＞0,c＞0）
とおくと、
接点の座標は、
(a-b/2,a/b-1/2)
（0＜a-b/2＜5,0＜a/b-1/2＜5）すなわち、
（0＜2a-10＜b＜2a）
放物線上にあるから、
a/b-1/2=(a-b/2-a)^2
a/b-1/2=(-b/2)^2
4a/b-2=b^2
b^3+2b-4a=0――①
（a＞0,b＞0）
円周上にあるから、
(a-b/2)^2+(a/b-1/2)^2=25
(a-b/2)^2(1+1/b^2)=25
(a-b/2)^2(b^2+1)=25b^2――②
（0＜a-b/2＜5,0＜a/b-1/2＜5）すなわち、
（0＜2a-10＜b＜2a）
①よりaを②に代入すると、
(b^3/4)^2(b^2+1)=25b^2
b^6(b^2+1)=100b^2
b^4(b^2+1)=100
やっぱりかなりの傾き。
bが出ればcも出るはず。 >>12
つ10
a=sqrt( (1/48) {1199 + [58373999 - 647760 sqrt(8097)]^(1/3) + [58373999 + 647760 sqrt(8097)]^(1/3)} )
が厳密解。 前>>13
接線の方程式は、
y=-2.6550623x+1.376639a-1.82753115
接点の座標は、
(a-1.32753115,a/2.6550623-1/2)
厳密に出た。 何でａが残ってるの？
接するのは１通りだけじゃないの？
2行目の波線部の意味がわかりません。。。
どなたかご教授いただけるとうれしいです
前>>16
>>17
そんなこと知るか。
出題者に訊いてくれよ。
出題者が放物線の軸はx=a(a＞0)にするって言ってんだからaはaだろう。
aを数字に変えたら跡形もなくぜんぶ数字になっちまうよ。 接するときは特別な場合しかないんですから求められるはずですよ？
>>18
>
(1)
an=[log_3 n]=k
k≦log_3 n<k+1
3^k≦n<3^(k+1)
#{n}=3^(k+1)-3^k
(2)
an=0 (1≦n<3)
S(3-1)=0・(3^1-3^0)
an=1 (3≦n<3^2)
S(3^2-1)-S(3-1)=1・(3^2-3^1)
…
an=m (3^(m-1)≦n<3^m)
S(3^m-1)-S(3^(m-1)-1)=m・(3^m-3^(m-1))
S(3^m-1)=S(3-1)+(S(3^2-1)-S(3-1))+…+(S(3^m-1)-S(3^(m-1)-1))=Σ[k=1,m] (k-1)・(3^k-3^(k-1))
3S(3^m-1)=Σ[k=1,m] (k-1)・(3^(k+1)-3^k)=Σ[k=2,m+1](k-2)・(3^k-3^(k-1))
2S(3^m-1)=(m-1)・(3^(m+1)-3^m)+Σ[k=2,m](-1)・(3^k-3^(k-1))-0・(3-1)=(m-1)・(3^(m+1)-3^m)+(-1)・(3^m-3)=(2m-3)・3^m+3
S(3^m-1)=((2m-3)・3^m+3)/2 >>18
a[n]=kとなるのは
3^k≦n≦{3^(k+1)}-1
の範囲
これはkが
{3^(k+1)-1}-3^k+1=2*3^k
個あることを意味している
kが0からm-1まで足しあわせれば答えがでる >>19
図を書けば接するのは１通りしかないのは分かりそうなものなのに >>18
>
anは3進法での桁数-1
1
2
10
11
12
20
21
22
100
101
102
110
111
112
120
121
122
200
201
202
210
211
212
220
221
222
1000
… 桁数ｰ1は
0
0
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
…
これを
0
0
1
1
1
1
1
1
1+1
1+1
1+1
1+1
1+1
1+1
1+1
1+1
1+1
1+1
1+1
1+1
1+1
1+1
1+1
1+1
1+1
1+1
1+1+1
…
と見て縦に加えると
(3^m-3)+(3^m-3^2)+…+(3^m-3^(m-1))=(m-1)・3^m-(3^m-3)/(3-1)=(m-3/2)・3^m+3/2
>>19
あほｗ
aは一意に定まるに決まってるだろ。
そもそも>>11のbを解くと b=2.081..となるので、
>>16が出てくるわけないし。
>>10に書いた通りに厳密解が求まってるのに、
なんでデタラメを言うｗ
救いようがないな。 >>18
a[n]をずーっと並べると、……、m-1、m-1（※）、m、m……ってところがどこかにある
a[n]=m-1となる最大のnが3^m-1だから、※がa[3^m-1]ってことになる
S（3^m-1）とは、a[n]を第1項から※まで足せってことになるので、波線の式になる >>28
なるほど－！わかりやすい説明まで付けてくれて
ありがとうごさまいました！ ね？イナはそもそも問題の意味がそもそも取れてないwww
「aの値を求めよとは言われなかったので求めません」って平気で言い放てるのは、どういう種類の精神疾患かな
前>>19わかった。aを出してみる。
接点(a-b/2,a/b-1/2)が円周上にあることから、
a^2-ab+b^2/4+a^2/b^2-a/b+1/4=25
(1+1/b^2)a^2-(1+1/b)a+(b^2+1)/4=25
(1+1/b^2)a^2-(1+1/b)a+b^2-99)/4=0
a=[1+1/b+√{(1+1/b)^2-b^2+99-1+99/b^2}]/2(1+1/b^2)
=[7.0493550623+2.6550623+√{99･(7.0493550623)^2+2･(7.049355826)(2.6550623)-(7.049355826)^3+(7.049355826)･100)}]/2･(8.0493550623)
=5.12996946（＞5は満たす）
もっと大きいと思うんだが。
計算が違うかも。
違うとしたら演算の順序かと。 答えさえわかればaなんかどうでもよいんや。前>>32きちんと割りきれる数字やないでaにしたるんやでな。
a={(26.550623)(2.83713867)+(79.1906785)/(2･8.049355826)
=9.59818904（＞5は満たす）
ちょっとでかいの。
ちょっとでかい。 高木くんはシロウトである。
シロウトであるにもかかわらず、
・医者が病気だと診断したことを誤診と決めつけ
・レフェリーが多数のmistakeがあると判断したことを誤りと決めつけ
のようなことをしても到底一切信用出来ないのである。
前>>35訂正。
a={(26.5550623)(2.83713867)+(79.1906785)}/(2･8.049355826)
=9.59897139
たぶん計算ミス。
a≒6だと思う。 >>5
１）高校数学の範囲で解ける問題ではない。
２）答えとして書かれているものと、問題が不整合。
なぜなら、（2a/3,1)は問題にあたえてある円周上にはない。
以上より、問題、答えのいずれか、あるいは両方とも誤りという
ことで、終了。 アレ？
なんかレス削除きた？
東大卒云々言ってたレス消えてるけど？
まさか恥ずかしくなって自分でレス削除？www
レス削除ってなんだよｗｗｗｗｗｗ
馬鹿なの？このオッサンｗｗｗｗ
もうテンプレにイナとそれに構うアホは全部荒らしだと入れとけ
イナは最悪。
数学がわからないままその術語の醸し出す世界に酔っているだけ。
>>48
>もうテンプレにイナとそれに構うアホは全部荒らしだと入れとけ
なんだ、そうだったのか。
コテハンだからまともなのかと思ったら、ただのキ印かよ。
素直に答えを出して馬鹿みちゃったよｗ 前>>37
>>16より、aが出そう。
接線の方程式の傾きは、
-2.6550623={1.376639a-1.82753115-(a/2.6550623-1/2)}/(a-1.32753115)
-2.6550623a+(2.6550623)(1.32753115)=1.376639a-1.82753115-a/2.6550623+0.5)
(3.6550623)(1.32753115)=4.0317262a-a/2.6550623) とりあえずアボーンリストにいれておきました。＞イナ
前>>51円の方程式x^2+y^2=25を見て、接線の方程式は、
y=-2x√6+25
じゃないかと思う。接点が(2√6,1)だとすると、これが放物線y=(x-a)^2上にあることから、
1=(2√6-a)^2
1=24-4a√6+a^2
a^2-4a√6+23=0
図を描くと放物線y=(x-a)^2の軸x=aは円x^2+y^2=25の外にあり、a＞5
a=2√6+1
≒5.89897949
∴接点(2√6,1)
接線y=-2x√6+25 >>54
円 x^2+y^2=r^2 上の点(p,q)における接線は
px+qy=r^2
これを一種の公式として高校数学で使う事は多い
点(2√6,１)は円 x^2+y^2=25 周上の点なので、この点における接線は
2√6x+y=25
となることはすぐ分かる
しかし、放物線が(2√6,1)を通るからといって、それが放物線の接線になるとは限らない
そんな単純な事も分からないのか？ 専用スレは知らないけれど、総合スレではまともなコテなんてまず見ないな
前>>54繰り返すがaなどどうでもよい。
接点(2√6,1)における接線の傾きより、
-2√6=2･2√6-2a
a=3√6
≒7.348……
接線の方程式をy=-2x√6+cとおくと、
(2√6,1)が接線上にあることから、
1=-2√6(2√6)+c
c=25
∴y=-2x√6+25
接点の座標は、
(2√6,1) >>59
知能障害or真性アスペor荒らし
あなたはどれだ～？
邪魔だから消えてね >>60
ミスがあるなら具体的に指摘してみろ
出来ないならタダ荒らすだけのゴミクズ もうテンプレにイナとそれに構うアホとそれに構うアホは全部荒らしだと入れとけ
>>61
横から口を出してスマンが、>>55は間違ってはいない。
だけど、>>54の人はそもそも明らかにおかしな人なので、
そんな人にレスしちゃう人もどうかしてるっていうのが、
>>60の主張なんだろう。口がすぎるとは思うけどね。
ということで、>>54の書き込みは放置すべし。 >>54
mathematicaでもgrapesでもよいので、グラフを書けばあってるかどうかわかるね 「 ０≦X≦2の範囲において常にＸ^2-2aX+3a＞0が成り立つように定数aの値の範囲を求めよ 」
①a＜0の時と
②0≦a≦2の時と
③２＜aの時と場合分けして
それぞれの共通範囲を出すところまではわかります
最後にそれを併せて答えは０＜a＜４となるのですが
なぜ最後に併せることが出来るのか理屈がわかりません
常に成り立たないといけないのであれば
「又は」ではなく「且つ」になると思うのですが・・
よろしくお願いします
>>66
①②③は共通部分がない範囲で場合分けしてるんだから
最後に「且つ」にしたら必ず答えは解なしになるだろ >>66
aのとりうる場合を考えるんだから、(1),(2),(3)の「又は」でしょ。
与えられたXについての不等式が常に成り立つためのaの条件を(1),(2),(3)
のそれぞれのaの範囲で「且つ」をとって狭める。で、最後にそれらの
「又は」をとって、条件を満たしうるaの範囲を足し上げる。 >>66
“何が”常に成り立つなのかを混同している >>55
2次曲線の接線は
a→a
x→(x+x0)/2
y→(y+y0)/2
x^2→xx0
y^2→yy0
xy→(xy0+x0y)/2
一般のn次曲線の接線も同様の変換で可能 >>54
或る正の実数aが存在して、平面Π上の円 C'：x^2＋y^2＝25 と
放物線 (L_1)'：y＝(x－a)^2 とが、或るΠ上の点 (P')(x_1, y_1) で接するとする。
同一平面Π上で円 C' と放物線 (L_1)'、及び接点 (x_1, y_1) を何れもx軸に平行な方向に同時に －a ずらして考えると、
仮定から、平面Π上で円 C' をx軸方向に －a ずらした円 C：(x＋a)^2＋y^2＝25 と
Π上で放物線 (L_1)' をx軸方向に －a ずらした放物線 L_1：y＝x^2 とは、平面Π上の点 P(x_1＋a, y_1) で接する。
このとき、平面Π上において、点Pは円 C と放物線 L_1 との接線 l_1 上の点である。
放物線 L_1 の式 y＝x^2 の両辺をxで微分すると y'＝2x。
同様に、円Cの式 (x＋a)^2＋y^2＝25 の両辺をxで微分すると (x＋a)＋yy'＝0 を得る。
また、すべてのΠ上の放物線Lに対して、任意のL上の点 (P_1)(L) における接線の傾きは、すべて有界であり実数である。
円Cと下に凸な放物線 L_1 とは直線 l_1 上の点 P(x_1＋a, y_1) で接するから、接線 l_1 の傾きは0とは異なり、
点Pにおける接線 l_1 の傾きは、x＝x_1＋a のとき y'(P)＝(y_1)/(x_1＋a) となる。
同様に点Pにおいて、(x_1＋a)＋(y_1)(y'(P))＝0 となる。
よって、点Pにおいて (x_1＋a)＋(y_1)^2/(x_1＋a)＝0 であって、(x_1＋a)^2＋(y_1)^2＝0 が成り立つ。
しかし、仮定から、点Pで (x_1＋a)^2＋(y_1)^2＝25 である。
故に、点Pで 0＝25 となって 0＜25 に反し矛盾が生じることになる。
背理法が適用出来るから、背理法を適用すると、どんな正の実数aに対しても、
平面Π上の円 C'：x^2＋y^2＝25 と放物線 (L_1)'：y＝(x－a)^2 との接点 (P')(x_1, y_1) は存在しない。 >>66
>常に成り立たないといけないのであれば
>「又は」ではなく「且つ」になると思うのですが・・
A+B+C=1
P=P(A+B+C)=PA+PB+PC >>54
>>72の
>点Pにおける接線 l_1 の傾きは、x＝x_1＋a のとき y'(P)＝(y_1)/(x_1＋a) となる。
から先は間違いだから、>>72は無視していい。見なくていい。
だけど、あの問題は妙に難しかったから、別に解けなくていい。高校の問題じゃない。 誤)点Pにおける接線 l_1 の傾きは、x＝x_1＋a のとき y'(P)＝(y_1)/(x_1＋a) となる。
正)点Pにおける接線 l_1 の傾きは、x＝x_1＋a のとき y'(P)＝-(y_1)/(x_1＋a) となる。
アスペって今時は数学の世界ですらやっていけなくなってるからな
こんなスレを荒らすしかやることがない
有理係数の三次方程式は有理解持ってるケースとかでないと無理。
じゃ大学レベルかというとこんな問題大学で扱うわけもない。
∴クソ問
前>>77
y=(x-a)^2と、
y=-2x√6+25より、
(x-a)^2=-2x√6+25
x^2-2(a-√6)x+a^2-25=0
判別式D/4=(a-√6)^2-(a^2-25)=0
-2a√6+6+25=0
a=31/2√6
=31√6/12
=6.3278485……(＞5)
このとき、
接線y=-2x√6+25は、
放物線y=(x-a)^2と、
接点(2√6,1)において接する。 >>84
問題) 連立方程式 y=(x-31/(2√6))^2, y=-2x√6+25 を解け 前>>84
悔しかったら接点の座標と接線の方程式を出してみろよ。 >>81
俺が>>10を書いたんだけど、４次方程式の判別式なんて、検索して
みたら見つかったってだけで、存在すら知らなかったよｗ
で、３次方程式の解もWolframalphaにぶっこんだだけ。
手計算なんかでできるかｗ >>89
>判別式
f(x)=0が重解⇔f(x)=0, f'(x)=0に共通解
f(x)=0, g(x)=0に共通解⇔終結式Res(f(x),g(x))=0
判別式D≒Res(f(x),f'(x)) お前らスレタイ読める？
質問者がとっくに消えた問題でいつまでグダグダやってんの？
別スレ立ててそこでやれよ
>>54
或る a＞0 を満たす実数aが存在して、平面Π上の円 C'：x^2＋y^2＝25 と
放物線 (L_1)'：y＝(x－a)^2 が或る点 (P')(x_1, y_1) で接するとする。
同一平面Π上で円 C' と放物線 (L_1)'、及び接点 (x_1, y_1) を何れもx軸に平行な方向に同時に －a ずらして考えると、
仮定から、平面Π上で円 C' をx軸方向に －a ずらした円 C：(x＋a)^2＋y^2＝25 と
Π上で放物線 (L_1)' をx軸方向に －a ずらした放物線 L_1：y＝x^2 とは、平面Π上の点 P(x_1＋a, y_1) で接する。
このとき、平面Π上において、点Pは円 C と放物線 L_1 との接線 l_1 上の点である。
放物線 L_1 の式 y＝x^2 の両辺をxで微分すると y'＝2x。
同様に、円Cの式 (x＋a)^2＋y^2＝25 の両辺をxで微分すると (x＋a)＋yy'＝0 を得る。
また、すべてのΠ上の下に凸な放物線Lに対して、任意のL上の点 (P_1)(L) における接線の傾きは、すべて有界であり実数である。
円Cと下に凸な放物線 L_1 とは直線 l_1 上の点 P(x_1＋a, y_1) で接するから、接線 l_1 の傾きは0とは異なり、
点Pにおける接線 l_1 の傾きは、x＝x_1＋a のとき y'(P)＝2(x_1＋a) となる。
円 C' の式 x^2＋y^2＝25 をxで微分したとき x＋yy'＝0 となることに注意すると、
同様に点Pにおいて、(x_1＋a)＋(y_1)(y'(P))＝0 となる。
よって、点Pにおいて (x_1＋a)＋(y_1)・2(x_1＋a)＝0 が成り立つ。
円Cと放物線 L_1 とは点 (－a, 5) で接っしないから、点Pにおける接線 l_1 の傾きについて
y'(P)≠0 であり、2(x_1＋a)≠0 から x_1＋a≠0。故に、1＋2y_1＝0 から y_1＝－1/2。
しかし、L_1 は平面Πの原点Oを頂点とするy軸に対称で下に凸な放物線だから、y_1＞0。
故に点Pのy座標 y_1 について －1/2＞0 となって －1/2＜0 に反し矛盾が生じることになる。
背理法が適用出来るから、背理法を適用すると、どんな a＞0 を満たす実数aに対しても、
平面Π上の円 C'：x^2＋y^2＝25 と放物線 (L_1)'：y＝(x－a)^2 との接点 (P')(x_1, y_1) は存在しない。 >>95
＞接点 (x_1, y_1) をx軸に平行な方向に－a ずらして考えると、
＞点 P(x_1＋a, y_1) で接する。
お前さん符号間違えとんぞ
背理法以前に算数ドリル100べんやってこい 前>>88
題意に則って図描いて方程式の切片と傾き考えただけ。あとは接点。紙と鉛筆。紙は裏紙。鉛筆はソニックの棒に太芯がついてるやつ。 >>97 イナさん答え書く前に検算くらいしてきてね 前>>88検算。
(2√6,1)における放物線の傾きは、
4√6-2a=-2√6
a=3√6
≒7.34846923（＞5）
最初の当たりでは、検算しておかしいと思ったのはここだった。
仮にaが6ぐらいなら、
接線の傾きは-2√6よりもう少し大きくなりプラス寄り、勾配はゆるやかになるはず。
接線をy=-2x√5+20+√5
接点を(2√5,√5)
とすると傾きは、
2(2√5)-2a=-2√5
a=3√5
≒6.70820393
二度目の当たりでもまだ遠い。近似値、近似点、近似線になるけど、
接線をy=-4x+19
接点を(4,3)
とすると傾きは、
2･4-2a=-4
a=6
まぁかなり近い値として、
接点(4,3)
接線y=-4x+19 前>>99前々>>97
接点の座標は、
(4,3)
接線の方程式は、
y=-4x+19
傾きがあわないけど、まぁ近いかな。太芯でごまかすべき。 イナはコテハン外したのか。
せっかくアボーンリストい入れたのに、しょうがねぇな。
まあ、別の方法で消すわ。
【問】aは実数の定数とする。2つの集合A = { x | x^2-(1+a)+a>0 } B = { x | x^2-ax+1-a }
について、A∪Bが実数全体の集合になるようなaの値の範囲を求めよ
【答】 -2-2*2^(1/2)<a<1
ここで質問なのですがBが実数全体の集合になるようなaの値の範囲は a<-2-2*2^(1/2) , -2+2*2^(1/2) です
この時、Aの条件に関係なくa<-2-2*2^(1/2) , -2+2*2^(1/2)であればA∪Bは実数全体の集合になりますよね？
でも答えはその範囲外です
これはどういうことなのですか？
>>103
B = { x | x^2-ax+1-a>0 }
訂正 >>103
> a<-2-2*2^(1/2) , -2+2*2^(1/2)
？ >>103
> ここで質問なのですがBが実数全体の集合になるようなaの値の範囲は a<-2-2*2^(1/2) , -2+2*2^(1/2) です
これが間違い、不等号が逆
問題の写し間違いは2ヶ所だけじゃないよ >>103
> ここで質問なのですがBが実数全体の集合になるようなaの値の範囲は a<-2-2*2^(1/2) , -2+2*2^(1/2) です
> この時、Aの条件に関係なくa<-2-2*2^(1/2) , -2+2*2^(1/2)であればA∪Bは実数全体の集合になりますよね？
もう一度検討しましょう。 >>103
申し訳ないです
もうひとつ追加訂正
a<-2-2*2^(1/2) , -2+2*2^(1/2) <a >>109
念のため、>>107の間違い、というのは、写し間違いのことでなく計算間違いのことだから。 >>115
しましたよ
Bが実数全体の集合になるようなaの値の範囲は -2-2*2^(1/2)<a<-2+2*2^(1/2) です
ここは確定しているので逆のa≦-2-2*2^(1/2) , -2+2*2^(1/2) ≦aについて考えます
f(x)=x^2-(1+a)+a
g(x)=x^2-ax+1-a として g(x)=0の解をα、βとする
1<aのとき
α+β=a>0 αβ=1-a<0 より α<1<a<β
このときf(x)もg(x)も0より小さい部分が出来るから不適合
a<1のとき
α+β=a<1 αβ=1-a>0
a≦-2-2*2^(1/2)だと a<α<β<1で計算すると 1<a となり不適合
-2+2*2^(1/2) ≦a<1だと α<β<a<1でで計算すると a<1 となり -2+2*2^(1/2) ≦a<1 になる
∴ -2-2*2^(1/2)<a<-2+2*2^(1/2) または -2+2*2^(1/2) ≦a<1
つまり -2-2*2^(1/2)<a<1 > f(x)=x^2-(1+a)+a
訂正
f(x)=x^2-(1+a)x+a = (x-1)(x-a)
皆さん、もう色覚間覚記覚(視覚)味覚嗅覚聴覚(触覚)光覚想覚真覚(空覚)態覚命覚(時覚)は把握してますか。
初項50公比1/2の等比数列の和は、4つの内収束するで合ってるのでしょうか？極限をとれば100と教えて頂いたのですが。
ちなみにプランクメートルとヨクトメートルはどちらの方が短いですか
キアナちゃんが聞けって言ってたのですが
重力9.8は太陽もですか？
重力が無い世界から来たってテレちゃん先生が…
前>>102
結局>>5の題意を満たす接点と接線は存在しないの？
それとも、接点の座標も傾きも切片もすべて無限な小数のかたちで値が存在するの？
読めない人はそこを問われるのがいやなの？ 1枚の硬貨を4回投げるとき、表の面が2回以上続けては出ない確率を求めよ
という問題では、問題文から表が1回は出る、と解釈していいでしょうか。
それとも表がまったくでない場合も含むのでしょうか。
>>123
>表の面が2回以上続けては出ない
数学の普通の解釈では
「表の面が2回以上続けて出ない」＝｢「表の面が2回以上続けて出る」ことはない」
と解釈するので
｢表の面が2回以上続けて出る」ことはない＝「表表表表または表表表裏または表表裏表または表裏表表または裏表表表または表表裏裏または裏表表裏または裏裏表表」以外
となって「裏裏裏裏」も含まれます。
しかし
文系の人の場合は
「表の面が「2回以上続けて出ない」」
が「表｣に言及している時点でそれが「存在」することが確定しているとかなんとか屁理屈を言う可能性がなきにしもあらずです >>128
なきにしもあらずです
文系の人に言われたことが有ります >1枚の硬貨を4回投げるとき、表の面が2回以上続けては出ない
すなわち、全く出ないか、１回しかでないか、２回出るけど連続しないか。
0 <x<∞での関数f(x)を、f(x)= 1-x+ logxで定める。このとき、（1）曲線y=f(x)と直線y=x-1は0<x<1/2の範囲で1点で交わることを示せ。
(2)上の（1）での交点における曲y=f(x)の接線とx軸とy軸とで囲まれた三角形の面積をS1とし、曲線= f（x）と直線y=x-1で囲まれた領域の面積をS2とするとき比Si：S2を求めよ。
わかりません
y=(1-x+logx)-(x-1)が0<x<1/2の範囲で単調増加すれば…ってことですかね
pを素数、nを自然数とする。
1+p^2+p^3+p^4=2^n
をみたすp,nは存在するか。
未解決です。
p=30k+1まで絞り込んだのですが…。
>>137
まちがえました。
1+p+p^2+p^3=2^nです。 >>138
(1+p)(1+p^2)=2^n より p+1 = 2^k、p^2+1 = 2^l (l＞k≧1)とおける。
2^l = (2^k-1)^2 + 1 = 2^(2k) -2^(k+1) + 2。
vを2進付置として
v(LHS)≧2、v(RHS)=1
により矛盾。 >>140
因数分解できることに気づかなかった…、ありがとうございます。
～進付置について少し調べました。
ここでは左辺が2で2回以上割り切れるけど、右辺は1回しか割り切れないってことですね。 色を持たない元素は数的には何の力価を持ってるのですか？
2次関数の最大最小問題についてです。
たとえば、下に凸な2次関数でa≦x≦a+4の範囲での最大値を求める問題で、あるaの値で範囲の左右の値が等しくなる（両端で最大値となる）時があるじゃないですか。
答えを書く場合それを別にした方がいいんですか？
今までは例えばa=3の時等しくなったとしたら解答は、a≦3の時f(a)、a>3の時f(a+4)と書いていました。
>>146
ｘがどんな値なのかまで答えなければならいなといときは
そのときだけｘの値は２つあるのだから別にしなければいけないだろう 「最小値とその時のxの値」ではなく、「最小値」を求めろと言ってるんだから
xは1個見つければ十分でね
2個あるのに1個しかないとか書くのはアウトだけど
>>146
細かく場合分けをするなら
a＜3のとき 最大値 f(a)
a＝3のとき 最大値 ｆ(3)＝ｆ(7)
a＞3のとき 最大値 f(a+4)
と書くべきかもしれません
しかし、実際はa＝3の場合をa＜3またはa＞3のどちらかに含めて書いている解答が多いように思います
ウチの担任によれば、｢境界の値はどちらかに含めておけばいい｣と昔言ってました >>146
まともな参考書では３通りにわけてるし
最小値を求めよと聞かれたら
最小値のみでなくそのときのｘの値も求めるのが常識だから
>>149や>>150のような言葉を字義どおりにしか受け取れない
馬鹿は無視したほうがいいよ。
このスレにはそういうキチガイがとっても多いから気を付けて。 >>151
数研のチャートでもどちらかに含めていましたし、
センター試験の過去問かマーク模試か忘れましたけどどちらか一方に含めた形で答えるようになっていました
実際にそうなってるのに、それを否定する根拠を教えて下さい >>152
ついでにセンター試験の過去問は何年のものか教えてください。
あなたの嘘を暴きたいので。 >>153
見てませんけど
質問を質問で返すのは話題そらしですよね？ この場合、チャートが間違いである根拠を示す必要があるんでないか？
>>151
キチガイはお前
字義通りの解釈以外にどうしろと？ >>155
ではチャートだけを見てケチつけてるということですね。
フォーカスゴールドでは３通りですよ。
話題そらしとかマウントとり必死にならなくていいから
せめて調べてから文句言ってください。
それともおこちゃまですか？
そもそも誘導式のセンター試験ではそのときのｘの値が問われていないならば
２通りの場合分けの穴埋めで答えさせるのもあるのが常識ですよ。
ちなみに>>146はセンター形式の問題を聞いているようには見えませんので
勝手に曲解をするのはやめてくださいね。
あなた程度にいわれなくてもそんなセンターの常識は知り尽くしております、ハイ。、 >>158
センター試験のような穴埋め式ではOKで
記述式の試験ではダメな理由を教えて下さい >>161
頭が悪そうなのでこれで最後にしますね(笑)
センター試験では場合分けが出題者によって提示されているからですね。
記述式は「常識」と書きましたが「ダメ」とは書いていませんので眼科か精神科へどうぞ。 >>158
センター試験のような穴埋め式だと２通りに場合分けがある事を知りながら
なぜ、何年度の試験なのか聞いたのですか？
嘘を暴くと言っていましたよね？
２通りに場合分けされてますよね？
どうやって嘘を暴くのですか？
センター試験の過去問を見直して間違いに気付いたのではないんですか？
早く嘘を暴いて下さい >>165
そんなに悔しがらなくてもいいですよ
あなたがもっと勉強してわたしのレベルまで到達すればいいだけのことですから(笑)(笑)(笑) >>162
その常識はどこの常識ですか？あなたの頭の中だけの常識ですか？
センター試験だと２通りでOKなのに
記述式だと３つに分ける理由を教えて下さい >>166
早く嘘を暴いて下さいよ
頭いいんですよね？ 等号を片方あるいは両方に含めても間違いじゃないんだからいいだろ
a=3を含めて成り立つのにむしろなぜ分けるのか謎
xの値に関してもx=a,a+4と書けば問題ない
前スレもそうだったけどくだらない議論はやめようぜ
>>169
かなり時間が経ちましたけど、まだ嘘は暴けないんですか？
アナタも連投してますよね？ブーメランですよね？ >>172
嘘を暴くと言ったのはアナタですよ？
早く暴いて下さい >>151
＝ではなく>=のような書き方でまとめて問題ないですよ。これでバツとなった例ってあります？
三通り書いてある参考書ではなく、二通りにまとめて書いてバツとなった例。実例を出して頂ければ。
受験問題なのかな？
もしこの解答でバツとなってしまう受験問題は存在しないと思いますし、もしバツとなってしまうような大学であれば、入らない方が良いレベルですよ。
あなたの考えがあり、主張されるのは立派だと思いますが、このスレは受験生等も見ている可能性もあります。嘘はいけないですよ。 >>176
ん？誰も言ってないことを言ったことにして（ねつ造）して嘘つき呼ばわりですかぁ～(笑)
悔しくてねつ造(笑)(笑)(笑)
朝鮮人みたいですね(笑)(笑)(笑) >>146
論理的にあっている答えなら何でもいいです。
あっている答えを×をつける方がおかしいです。 次から次と頭の不自由な人が湧いて出てきたのかと思ったら
おじさんが一人で粘着してるようですね(笑)(笑)(笑)
どれほど悔しいのでしょうか(笑)(笑)(笑)
まとめると。
>>146のような問題は
>=と<等で2つにくくってしまって全く問題ありません。
丁寧に3つに分けてもマルとなりますが、2つにくくってもマルで、バツとなることはあり得ません。
仮にバツとなるようなら、それは誤植レベルって事です。 >>180
>>178に回答頂ければ。
あと同一人物としてお話ししますけど、別スレで独創的な主張されるのは良いと思いますが、高校数学において嘘や高校生を惑わすような書き込みはやめた方がいいですよ。それはやり過ぎだと思いますし。
同一人物でなければすみません。 >>146
まともな参考書では３通りにわけてるし
最小値を求めよと聞かれたら
最小値のみでなくそのときのｘの値も求めるのが常識だから
>>149や>>150のような言葉を字義どおりにしか受け取れない
馬鹿は無視したほうがいいよ。
このスレにはそういうキチガイがとっても多いから気を付けて。
>>182
誰と勘違いしてるのかわかりませんし興味もありませんが
あなたが悔しがってることはよくわかりました(笑)(笑)(笑) >>183
なぜ回答は頂けないのですかね。。
まあ>>181で合ってると認識頂ければ良いですよ。
あと別人なんですねw
数学板はカオス世界ですわ >>186
煽るしか能がないんですか？
早く私の嘘を暴いて下さい ID:IuWan5jYって相加平均≧相乗平均を使ったら
等号が成り立つときを書くのが常識と思ってそうだな
>>191
常識だから～とかいうのが口癖のようだけど
なぜそれを書くのかわかってなさそうだから煽られるんだよ。
だったら、なぜ常識か言ってみて。
良かったらヒントほしい？ まともな参考書だから～とか
とても数学をそれなりにやってきた人間の言葉とは思えないんだよな。
名著と言われているものにも誤りが誤植があるわけで、
常に疑って読んでいくという姿勢が一切なく、「ぼくがにんていしたまともなさんこうしょ」に書いてあることが「常識」であり、
間違いなんてないと思っているわけでしょ？
これ≧をやってきた人間の態度か？ｗ
この世のものはある程度まで文章から確率を算出できるのでしょうか？
つまり明確に行動と行動基準が明記されていれば確率を出すことができるのでしょうか？
例えば「気分でたまに３個選んだり４個選んだりする」のような文でもなければ確率を出すことができるのでしょうかということです
5個の青玉5個の赤玉から何個取った時～のようなお手本のような文章はともかく、
例えば
赤青黄緑紫の５本の線を５秒以内にランダムで２本切った後に、５秒後基本ランダムで１本切る
５秒以内に赤・青を切った時は緑の線が硬化し切れなくなるので黄・紫のどちらかを切ることになる
５秒以内に青・黄を切った時は紫が硬化し赤・緑から切る線を選ぶ
５秒以内に黄・緑を切った時は赤・青が硬化し紫のみが切れる状態になる（切る線は紫で確定）
それ以外のパターンで線が硬化することはない
基本というのは線が硬化した際はまた切った線と硬化した線を除いて選び直すため
３本目に赤の線を切る確率は？
こういった複雑極まりないような出題（文章）でも確率を数字で算出できるのでしょうか？
もちろん別に本当に計算とかはしてもらわなくても構いませんが、可能なのかどうかだけ気になります
>>195
4/10＊0+1/10＊1/2+1/10＊0+4/10*1/3=11/60 >>197
キチガイさんおはようございます
私の嘘を早く暴いて下さいよ
センター試験のような穴埋め式だと２つに場合分けして、記述式では３つに場合分けするのが常識である理由を教えて下さい
もし煽るだけだったらアナタの負けですよ >>197
なんで「常識」かわからないのかｗ
だめだこりゃｗ >>196
数学というものにちゃんと触れなくなって10年は経つので
2/5を4/10と表記するのは分母を揃えているんだなってのだけはわかったのですが、
それ以降の計算（0+1/10...）はもう全く何をやっているのかそもそも合っているのかもわかりませんがちゃんと出せるんですね…
こんなおバカな質問に答えていただき大変恐縮です
それにしてもあんだけダラダラ言語化したものをあっさりと一行にまとめてくるのだから理系の人はクールだと思いました >>200
横レスですが…
分母の10
これは最初の５秒で切る２本の線の色の組み合わせだと思われます
組み合わせの記号nＣrを使うと
5Ｃ2＝10通り
それを次の４通りに場合分けします(i)赤線を切る場合
もう１本の色は４通りあるので確率は 4/10
既に赤線は切ったので、次の５秒で赤線を切る確率は 0
よって３本目に赤線を切る確率は
(4/10)×0
(ii)青・黄を切る場合
これは１通りなので確率は 1/10
次の５秒は赤・緑のどちらかを切るので、赤線を切る確率は 1/2
よって３本目に赤線を切る確率は
(1/10)×(1/2)
(iii)黄・緑を切る場合
これは１通りなので確率は 1/10
次の５秒は紫線しか切れないので、赤線を切る確率は 0
よって３本目に赤線を切る確率は
(1/10)×0
(iv) (i)～(iii)以外の場合
この場合 10－(4＋1＋1)＝４通りあるので確率は 4/10
次の５秒は残った３本の中から切るので、赤線を切る確率は 1/3
よって３本目に赤線を切る確率は
(4/10)×(1/3)
(i)～(iv)より
３本目に赤線を切る確率は
(4/10)×0＋(1/10)×(1/2)＋(1/10)×0＋(4/10)×(1/3)＝11/60
になると思われます >>198
ガイジさんこんにちは。
相変わらず悔しそうですねｗｗｗｗｗ >>199
無職のガイジさん
涙ふこうかｗｗｗｗｗ >>202
あれ？また煽るだけですか？
３つに分けるのが常識である理由をいつ説明してくれるんですか？
説明出来ないんでしたらアナタの負けですよ？
煽る暇あるならさっさと説明して下さい >>204
暇人のガイジさん
悔しくて今夜も眠れなさそうですか？(笑)(笑)(笑) >>201
ありがとうございます！
なにか揉め事が起こっているようですけど、自分から見ればここにいる人みんなかしこくてすごい人ばかりなので
喧嘩をするのはもったいないなと思いました
数学って答えが同じならみんなが同じ答えを出せるというのが美しいですね 自然数a,b,cの最大公約数は1で
a^2=b^2+c^2-bc を満たす。
このときaを3で割った余りはいくらか。
これは答えは1でしょうか。
すまん、ない。
c:oddとして良い。
(2a-2b+c)(2a+2b-c)=3c^2
より平方自由な奇数kとm,nにより
2a+2b-c=3km^2, 2a-2b+c=kn^2, c=kmn または
2a+2b-c=km^2, 2a-2b+c=3kn^2, c=kmn とおける。
前者とする。
a=k(3m^2+n^2)/4, b=k(3m^2-n^2)/4+kmn/2, c=kmn
によりk=1、nは3の倍数でない。
∴ a≡1 (mod 3)
後者も同様。
ある数列a(k)のk=1からk=2^nまでの和がn以上であるとき、nを無限大にしたときにその和は発散すると言っても構わないのでしょうか？
平方自由ってなんですか
高校生に分かる言葉でおながいします
>>216
そりゃそうだ
納k=1,2^n]a(k) ≥ n → ∞ >>217
square-free integer の訳なんだろうけど、
この場合の free を自由と訳すのは……。
無平方数のほうが一般的な気がする。
どんな平方数でも割り切れない正の整数。
素因数分解したとき、どの素数も2回以上は
現れないような正の整数だよ。 lim(n→∞)2^n*tan(π/2^(n+1))の求め方を教えてください。
tanについて、はさみうちならばtanx≦π/4xしか知りません。
他に何か方法あるのでしょうか。
答えはπ/2らしいです。
>>221
自然な方法は
2^n*tan(π/2^(n+1))=(π/2){tan(π/2^(n+1))/(π/2^(n+1))}
と変形し{}の中が1に収束すること(lim[θ→0]tanθ/θ=lim[θ→0](sinθ/θ)(1/cosθ)=1)を示す
どうしてもはさみうちを使いたいなら有名不等式 sinθ<θ<tanθ (0<θ<π/2)が使える形にもち込む
例えばθ<tanθを両辺2乗し逆数とってsinθ<θを使うと
1/θ^2 > 1/tan^2θ=-1+1/sin^2θ > -1+1/θ^2
で挟み撃ちできる >>224
ありがとうございました！
はさみうちしかできないと思っていたのが間違いでした。
先にsinx/xに気が付くべきでした。 積分とは一体何をしているのですか？
面積を求められる理屈は分かりましたが、「で？」という感覚で、イマイチしっくり来ません。
大学受験板の数学スレッドで同様の質問をしましたが、あまり納得のいく解答が返ってこなかったのでここで質問させて頂きます
積分は体積を計算してる
関数を階段状の関数で近似して、階段関数の体積を計算する
近似の精度を上げていけば体積は一定値に収束する
その値が元の関数の積分として定義される
積分と微分は微分積分学の基本定理で繋がる
前>>130
>>226
パッと出るような簡単な形をしてない領域や物体を見て、どう思うかです。ふつうかなんなぁと思うと思うんです。
そこでです。細かく分割した部分すなわち微分した線分や面積を、足し集めて面積や体積を求めることを考えたと思うんです。つまりこれが積分だと思います。 >>228
微分と積分が繋がるのは連続関数限定の話だろ
あと積分は体積を計算してるとかバカ過ぎる >>231
イメージの話をしてるだけなのに
匿名だからって言葉に気を付けろよ傲慢君 >>231
あと連続関数限定というか
連続関数の中でも絶対連続関数の微分と積分が繋がるのが微積の基本定理だ 時間を変数とする速度の関数から距離が求められるし有用
(1,1)を頂点とし、点(2,0)と点(-1,-3)を通る放物線の方程式を求めよ。
これってたぶん欠陥問題ですよね。
前>>229
>>236
xy平面上に題意の3点をとり、なめらかな放物線を描いてみると、
y=-(x-1)^2+1
が浮かぶ。
∴y=-x^2+2x そうなんですよ。たぶん作者は二次関数のつもりで出したんだと思うんすが。
ちなみに，
これあえて一般の放物線として解くとなるとどう考えればいいでしょうか。
放物線は二次関数ですよ
三次関数は放物線ではありません
数学的には円錐曲線の一部と定義されていますので二次関数だけです
放物線は物を放る線と書きますね
物理やってればわかると思いますけど、物を放り投げた時に軌跡は、一様重力下での物体の軌跡ということになるわけですけどこれの答えは二次関数ですよね
前>>238
題意より放物線は(1,1)を頂点とする二次関数。
これ以外にないと思う。
質量mの物体を水平方向に初速V0で投げたとき、重力加速度gを受け高さhだけ自由落下したとすると、物体が描く軌跡を水平方向から見た図形は放物線で、
水平方向の速さV1,鉛直下方への速さV2は、
エネルギー保存の法則より、
mgh+(1/2)mV0^2=(1/2)mV1^2+(1/2)mV2^2
とにかく軌跡は放物線になる。落下した高さhが、
h=(1/2)gt^2
落下時間の2乗に比例するからだ。
だから放物線は二次関数しかない。 >>241-243
そういうことじゃないだろう
放物線は二次曲線だが、二次曲線は二次関数とは限らない
斜めの放物線は二次関数では表せないが、それが答えの可能性がないかの話だろう >>241
x^2+2xy+y^2+x-y=0
も放物線だがや >>240
三点(1,1),(2,0),(-1,-3)を(0,0),(1,-1),(-2,-4)に平行移動して考える
原点を頂点、軸をy軸とする放物線は
ax^2+y=0
これを原点を中心にθ回転させたものは
a(x*cosθ+y*sinθ)^2+(-x*sinθ+y*cosθ)=0
これが点(1,-1),(-2,-4)を通るから
a(1*cosθ-1*sinθ)^2+(1*sinθ-1*cosθ)=0
a(-2*cosθ-4*sinθ)^2+(2*sinθ-4*cosθ)=0
をa≧0、0≦θ<2πで解くと、省略するが解は結局a=1、θ=0だけで、x^2+y=0になる
これを平行移動して戻すと求める放物線になる
放物線で、通る3点と、うち1つが頂点である、という情報があれば放物線は一意に定まるということなのかな 間違えた、こうだ
これが点(1,-1),(-2,-4)を通るから
a(1*cosθ-1*sinθ)^2+(-1*sinθ-1*cosθ)=0
a(-2*cosθ-4*sinθ)^2+(2*sinθ-4*cosθ)=0
おおお。感動しました。
なるほど深い問題だったのですね。
意図した問題なのかは何とも言えない。問題で頂点を指定してはいるが…
前>>244
y=-x^2+2x
で、答えあってますよね？
放物線を斜めらせれんか問うとってん問題やとしたら、ちょっとおもしろいかもしれませんねぇ。
まぁでも、軸に対して正対してる放物線が一つ求まったらそれでよいと思いますけど。 >>247
> 放物線で、通る3点と、うち1つが頂点である、という情報があれば放物線は一意に定まるということなのかな
頂点が原点 >>247
途中で誤送信してしまいました。すみません。
> 放物線で、通る3点と、うち1つが頂点である、という情報があれば放物線は一意に定まるということなのかな
原点が頂点のとき、未定のパラメタは2つ。
（その解答ではaとθ）
だから頂点以外に2点の座標を与えれば、
それらのパラメタは定まる。 でも一意に定まるかどうかは別の話ですね。
2つの場合もありそうたが。
原点頂点、(1, 1)、(2, 4) だとどうでしょう？
前>>251
>>254
2つありそうですね。
1つはy=x^2
もう1つは、y=ax^2（a＞0,パッと見10ぐらい）の軸であるy軸をy=bx（b＞0,パッと見√3ぐらい）まで時計回りに回転させた放物線。
(1,1),(2,4)を原点を中心に半時計回りに回転させて傾きbの直線をx軸に垂直になるまで起こしたときどこになるかですね。
一意に決まるのはわかりますけど。 >>254
解は３通り
y = x^2
y√7-x√3 = ((2√7-3√3)/2) (x√7+y√3)^2
y√7+x√3 = ((2√7+3√3)/2) (x√7-y√3)^2 前>>255
もう1つあったか。
0＜a＜1,b＜0のやつ。 わからない問題ではなく質問ですが
「実数 a, b について x＝a＋b, y＝ab とする。a, b がすべての実数をとって変化するとき点 (x, y) が動く範囲をxy平面に図示せよ」
という問題はα+β αβを利用するのはわかるんですが
コレって A=α+β B=αβって形になったらAとBの存在範囲は必然的に制限されるって考えちゃってOKですか？
>>259
そうですね
そこまでわかっているなら、二次方程式 X^2-AX+B=0 が、１つまたは２つの実数解α,βを持つための条件が何か考えると言うことです。 >>259
「条件P(x)を満たすx∈ℝ︎が存在する」
という事を「∃x∈ℝ︎,P(x)」のように書く。
点(x,y)が動く範囲をFとすると、
(x,y)∈F
⇔∃a∈ℝ︎,∃b∈ℝ︎,[x=a+b ∧ y=ab]…①
⇔∃a∈ℝ︎,∃b∈ℝ︎,[b=x-a ∧ y=ab]
⇔∃a∈ℝ︎,∃b∈ℝ︎,[b=x-a ∧ y=a(x-a)]
⇔∃a∈ℝ︎,[y=a(x-a) ∧ ∃b∈ℝ︎,b=x-a]
⇔∃a∈ℝ︎,y=a(x-a)
⇔∃a∈ℝ︎,a²︎-ax+y=0…②
⇔x²︎-4y≧0
このように考えると分かりやすいと思います。
①⇔②は暗記しておくといいと思います
(ただの解と係数の関係ですが) >>261
その記号高校数学で習いません
独りよがりな解説はやめてください >>262
別に習わなくても最初の部分で使い方をことわっているので問題ないと思います 数学アレルギーがなんか騒いでるな
この程度の記号なんてマトモな高校生なら理解できるだろ
>>259のような質問をする奴に分かるとは思えない >>259
OKですね
その制限はどういう風に制限されるのか求めなさいという問題ですね もう7時40分か
モーター音うるさい
学校行きたくない
もう4:05台かー
腹減った
休憩してラーメン食べよう
バイクうるさいな
ただいまの時刻4:21
ラーメン食べたー
あれ？時刻ずれてる？4:23
また問題集頑張るぞ
前>>275
もう夜やで寝な。
睡魔には勝てても、よう寝てる奴には勝てんで。 別に記号程度なら構わんよ
高校数学で扱う内容を記号で書いただけだしな
前スレのように聞かれてもいないのにベクトル解析だの、リーマン幾何だの
何をひけらかしたいのかさっぱりわからない
前>>291
たしかに寒くなってきた。
押入れから掛け蒲団を出す季節か。 もう2:02
寝てしまってた
何もないな
仕方ない
ラーメン食べよ
自分の持ってる問題集に
log₂3は無理数であることを示せ。
ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ
という問題があるんですけども、この問題の解説が
log₂3を有理数と仮定して
log₂3＝a/b （a,bは互いに素な正の整数）
3＝2^(a/b)
両辺をb乗して
3^b＝2^a より矛盾
log₂3は無理数である (証終) なのですが
これってa,bは互いに素である必要ってないと思うんですけど、どう思われますか？
いいと思いますけど、互いに素としないとダメな問題もありますからね
互いに素としといたほうが無難でしょう
0<x<180度のとき sin(3x)=cos(2x) を解け。
という問題で、とりあえず与式をsin(x)の式であらわして(簡単にsin(x)=sとす)
3s-4s^3=1-2s^2
4s^3-2s^2-3s+1=0
(s-1)(4s^2+2s-1)=0
となったので s=1からx＝90度は分かるのですが
4s^2+2s-1=0の解からxが何度になるかがとても分かりません。
どうすればいいでしょうか。
角度比較型
右辺をsinに書き直して両辺のsinの中身を比較する
>>301
sin3x=cos(π/2-3x)=cos2x
π/2-3x=±2x mod 2π
x, 5x=π/2 mod 2π
x=π/2
5x=π/2, 5π/2, 9π/2
x=π/10, π/2, 9π/10 >>301
s=(-1±√5)/4となりますから、黄金比に近い値だと見抜ければ
xは18°だとか36°だとかの予想がつきます
ですが「sin○=sin○」「sin○=cos○」というタイプの問題は、
そのように解くよりも簡単な解法が存在します
まず、次の事を覚えると良いと思います
cosθ=cosφ ⇔ θ=±φ+2nπ(n∈ℤ︎)
これは図を書けば分かります
これを使って解いてみましょう
sin(3x)=cos(2x)
⇔cos((π/2)-3x)=cos(2x)
⇔(π/2)-3x=±2x+2nπ(n∈ℤ︎)
⇔x=(π/2)+2nπ または 5x=(π/2)+2nπ(n∈ℤ︎)
⇔x=(π/2)+2nπ , (π/10)+(2/5)nπ (n∈ℤ︎)
ここで0<x<πである事を思い出すと、
x=π/10,π/2,9π/10=18°,90°,162°
となります 前>>294
>>301
0＜x＜180
sin(3x)=cos(2x)
3sinx-4sin^3x=1-sin^2x
4sin^3x-sin^2x-3sinx+1=0(sinx-1)(4sin^2x+2sinx-1)=0
sinx=1,{-1+√(1+4)}/4
=1,(√5-1)/4
(√5-1)/4=1.2360679……/4
=0.309016975……
=sin18°
x°=18°,90°,162° >>301
蛇足気味ですが、あえてコメントを
直角三角形ABCで、∠A=3x、∠B=2x、∠C=∠R(直角) で斜辺AB=1とすると、
BC=AB*Sin(3x)=AB*Cos(2x) なので、Sin(3x)=Cos(2x) という式が出てきます。
∠A+∠B=3x+2x=5x=Pi/2なので、x=Pi/10 なのですが、
他方、>>301方式で、Sin(x)の値を解析的に求めることができ、Sin(3Pi/10) 等を求めることができます。
これは、∠A=3x、∠B=2x、∠C=∠R(直角)の直角三角形を利用して、
Sin(54°)等の値を求めるときのテクニックとしてよく知られているものです。
>>301の問題は、この逆問題にあたりますね。 前>>307
ほとんど解けてんだから、そんな突拍子もない解き方覚えんでも、自分の解き方の延長で図を描いてx°を出したほうが絶対いいと思います。 >>308 さん。ありがとうございます。とても参考になりました。
イナさん。まったく参考になりませんでした。 前>>309別解。
>>301
0°＜x＜180°
sin3x=cos2x
sinの3倍角とcosの2倍角が等しいから、
3x+2x=90°
図を描くと、
3x=54°,2x=36° ∴x=18(°) >>301
その解答で行くとsが無理数になって何度かわからないから、その方針は諦める。
電卓ならそこから角度を簡単に出せるから、その計算自体間違いではないけどね。 別のシチュで s=√3/2 になるとしても諦めるのか
見切り早すぎｗ
sが無理数になって何度かわからないから、その方針は諦める
sが無理数になって何度かわからないから、その方針は諦める
sが無理数になって何度かわからないから、その方針は諦める
idコロってんのか？
45や60みたいなわかりやすい角度でないことは>>301の式見て秒でわからないか？ sが無理数になって何度かわからないから、その方針は諦める
sが無理数になって何度かわからないから、その方針は諦める
sが無理数になって何度かわからないから、その方針は諦める
？？？
そんな些細なことより
sが無理数になって何度かわからないから、その方針は諦める
sが無理数になって何度かわからないから、その方針は諦める
sが無理数になって何度かわからないから、その方針は諦める
？？？
前>>311
>>301
4s^2+2s-1=0
s=(√5-1)/4(＞0)
∵0＜x＜180
s=sin18°,sin162°
ほとんど解けてんだから、そのままでいいのに。考え方が自然だし。sin18°が無理数でもいいと思う。題意に沿って解いてそれが答えなら。 asinθ±bcosθ なら合成の公式
sinα±sinβ
cosα±cosβ なら和積の公式
sinα±cosβ に使える公式ないの？
sinα±cosβ = sinα±sin(π/2-β)
１－1/2＋1/3－1/4＋1/5－1/6＋…＝log2となりますが、
この数列を並び替えるとことによって全ての項を足し算にできます。
ㅤㅤㅤㅤㅤ
＝（１＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋…)－２(1/2＋1/4＋1/6＋…)
＝（１＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋…)－(1＋1/2＋1/3＋…)
＝1/4＋1/5＋1/6＋1/7＋1/8＋1/9＋…
となって無限級数となり発散してしまいます。これは不思議ではないですか？
∠AOB=60ﾟとした時に
∠BOA=-60ﾟとする場合があるらしいですが、高校数学で出てきますか？
a は有理数とする。
a が整数であることは、a^2 + 3a が整数であるための( ) 。
これは必要十分条件ですか？
>>315
いや、有名角ならわかるでしょ
ていうか受験生なら15度とか75度とか72度とかも覚えても良いぐらいだと思うけどね >>323
それを18度とわかるには覚えておくしかないのだけれど、18度を覚えるってなかなか指導しないでしょ
出題者の意図としては有名角でない時にどう解きますか？ってことだと思うけど >>318
このスレでそんなアホな理解をしてるのは二人ぐらいだろ
有名角の無理数なら答えられるけど、そうではない無理数だから諦めなきゃねと言うだけの話 前>>323
>>307二次方程式を解いて、
sinx=0.309……で18°と思うか、
>>311
3x+2x=90で
x=18(°)と出すか、どっちかだと思う。
ただ無理数と少数を覚えとくと確信が持てるし安心できると思う。 >>338
18度の三角比なんて誰も覚えてないから、前者をマジの解説として説明されてもピンとこないでしょ
ウケ狙いの解説してるんならもう少しわかりやすくやってくんないとさ 数列a[n+1]+a[n]=1/(2n+1)の時のnが無限大の極限値a[n]は、どうやって求めればよいですか？
3点O,A,Bが3角形の頂点であるとき、OA↑＝a↑,OB↑＝b↑とおく。
実数α、βについて
αa↑＋βb↑＝0↑ならばα＝β＝0である
事を示せ
何からどうすればいいんですか…
>>342
条件よりa↑≠0↑, b↑≠0↑である
α≠0とすると
a↑=-(β/α)b↑
よって
a↑//b↑ すなわち OA//OB
これは3点O,A,Bが三角形を成すことに反する
よってα=0
同様にして(あるいは与式にα=0を代入することで)β=0も分かる
これは一次独立なベクトルの組に対し常に正しい命題で、ベクトルの非常に基本的な性質の１つ
与えられた仮定(今の場合αa↑＋βb↑＝0↑)に対し、なぜ結論(今の場合α=β=0)が正しいと言えるのか見当もつかない時は、
「では逆に結論通りでないと何がマズイのか」
と考えるとうまくいくことがある
要は背理法を考えているということだけど >>343
なるほど…これが本質理解って奴ですね… >>340
存在するとは限らないけど？
収束する数列であるという条件があるの？ >>340
グレゴリー級数
Gr[n] = 1 - 1/3 + 1/5 - ･･･ + (-1)^(n-1) /(2n-1) → π/4 (n→∞)
を使えば
a[n] = (-1)^n (c - Gr[n]),
ですね。
c=π/4 なら 0に収束しますが、
c≠π/4 なら ±(c-π/4) の辺りで振動します。 〔グレゴリー・ライプニッツ級数〕
x - (1/3)x^3 + (1/5)x^5 - (1/7)x^7 + ････
= ∫(1 -x^2 +x^4 -x^6 +････) dx
= ∫1/(1+xx) dx
= arctan(x)
ここで x=1 とする。
>>340
投稿した本人じゃないけど、これって一般項ってどうなるの？ x*sin^2(x)=(π/2)を解け。（0≦x≦π）
がわかりません。教えてください。
前>>338
>>339
二次方程式解いて√5が出たとき、正五角形の対角線のなす二等辺三角形の内角72°と36°が浮かんで、
sinx=0.3090……を描くと、18°しかないと思うと思います。
sin3x=cos2x
3x°+2x°=90°で確信が持てると思います。 >>351
b[n+1]=(-1)^na[n+1]
b[n+1]-b[n]=(-1)^n/(2n+1)
b[n+1]=b[0]+1/1-1/3+1/5…+(-1)^n/(2n+1)
a[n+1]=(-1)^n{b[0]+1/1-1/3+1/5…+(-1)^n/(2n+1)} >>358
なるほど
そのやり方を初めて知りました
ありがとうございます
数列はまだ習ったばかりなので勉強になります
ちなみにこの級数には何か名前とか付いているんです？
1/1-1/3+1/5…+(-1)^n/(2n+1) すいません
よく見たら>>348に書いてありました
大学入試にはよく出るんでしょうか？ うそを教えてはいけない…
>>360
キミが数列の初項を書き忘れたせいで複雑な議論になってしまったんだよ >>355
(左辺) ≦ x だから根は π/2 ≦ x < π にある。
x = π/2, 2π/3. a[n]って、0→π/4のtan^(2n)xの積分なんじゃね？
そんな漸化式出てきた記憶があるけど
>>355
解が有限個と思っているからわからなくなっているだけだと思います。
無限にあるということを念頭に置けばわかると思いますよ。 >>362
>キミが数列の初項を書き忘れたせいで複雑な議論になってしまったんだよ
言いがかりはやめてください
>>351にも書きましたが、こちらは>>340とは別人です >>364
そうならば c = a[0] = π/4 で >>348
a[n] = (-1)^n (π/4 - Gr[n])
= |π/4 - Gr[n] |
= 1/(4n) - 1/(16n^3) + 5/(64n^5) - 61/(256n^7) + ････
ですね。 >>368
a[n] = (-1)^n (π/4 - Gr[n]})
= 1/(4n) -1/(16n^3) +5/(64n^5) -61/(256n^7) + ････
= Σ[k=0,∞] E_2k /{4^(k+1)･n^(2k+1)}
ただし E_2k はオイラー数。
http://oeis.org/A000364 誰もわかってないようなので答え書いてあげますね
a[n+1]+a[n]=1/(2n+1)
a[n]+a[n-1]=1/(2n-1)
a[n+1]-a[n-1]=1/(2n+1)-1/(2n-1)
で、この階差数列使えば出ますよね
グレゴリ級数云々はなんか違いますよね
え？
既出の答えであってるだろ？
0、もしくは振動、初項による。
じゃないの？
>>340の既出の答えまとめとく。(必要最低限)
A[n]=∫[0,1]x^(2n)/(1+x^2)dx
とおくと与式を満たすので答えの一つは0。
この時の初項は1-π/4。
与式の一般解は
a[n]=A[n]+c(-1)^n
でc≠0の時振動する。
以上により初項が1-π/4のとき0。
それ以外のとき振動。 b[n] = ∫[0,π/4] (tanθ)^(2n+1) dθ
= ∫[0,1] x^(2n+1)/(1+xx) dx
= (1/2)∫[0,1] y^(n-1) /(1+y) dy
とおく。
b[0] = [ (1/2)log(1+xx) ] = (1/2)log(2),
b[n] + b[n+1] = ∫[0,1] x^(2n+1) dx = 1/(2n+2),
が成り立つ。
このとき、交代調和級数
H[n] = 1 -1/2 +1/3 - ････ +(-1)^(n-1)･(1/n),
を用いて b[n] を表わせ。
3行目
= (1/2)∫[0,1] y^n /(1+y) dy
6行目
b[n] + b[n+1] = ････ = (1/2)∫[0,1] y^n dy = 1/(2n+2),
nが大きいとき
b[n] = 1/(4n) -1/(8n^2) +1/(16n^4) -1/(8n^6) +17/(32n^8) -31/(8n^10) + ････
= －Σ[k=1,∞］{(2^k -1)B[k] /2k} /(n^k),
ただし B[k] はベルヌーイ数
B[0] = 1, B[1] = -1/2, B[2] = 1/6, B[4] = -1/30, B[6] = 1/42, B[8] = -1/30, ････
前>>356
>>307正攻法。
二次方程式を解く。無理数を少数にする。角度を求める。
>>311別解。
3倍角の正弦が2倍角の余弦と等しい。5倍角は90°。
90°÷5=18°
どっちかやと思います。 イナさん、無理数を少数（小数？）にしたところで角度は求まりませんよ。
大丈夫ですか？
いや、彼にとって解くとは勘を確信にしていく作業に過ぎないので確信できれば解けたといっていいのです。
>>386
会話がなかなかできない人だね
前者は電卓を使わない限り出ないので無理な話だよ 分母分子に√x掛けてみればわかるし
x=(√x)^2 と考えて√xで約分すればいい
(x>0のとき)
>>391
(誤)√xで約分すればいい
(正)√xで約分してもいい 前>>386
>>389
そんなこともあろうか>>307は筆算した。桁数があんまり多くないのがその証。
√5は｢富士山麓鸚鵡鳴く｣で出る。
-1だから富士山の富を1に変えてみたらいい。 >>389
コレについては彼はなにを指摘されてるのか理解するのは無理でしょう。
ほっとくしかないでしょう。
そもそも彼が理解できても我々には一文のとくにもならないし。 >>394
いろいろ突っ込みどころが多い人だなあ。
近似値を小数で求めたところでsin18°とは言い切れない。
18.1°かもしれんし17.9°かもしれん。
そもそも無理数って「鸚鵡鳴く」で終了とでも思ってんの？
だったら√5は無理数ではなく有理数になってしまうぞ。 前>>394
18°か17.9°か18.1°かとう段階まで来たら、
もう一度最初の式を見るといい。
cos3x=sin2x
3x°+2x°=90°
もう端数のあるやつより端数のない18°を選ばない手はない。 >>398
それを言い出したら小数にする意味ねえじゃん イナってひとは
なんでまったく誰も参考にしないことを
えんえん書き連ねるんですか
いま、一様連続と連続について調べていて両者の違いは分かったのですが、
連続だけど一様連続ではない関数の嬉しい性質とかってありますか？
ㅤㅤㅤㅤㅤ
分けているのなら、何か理由があると思うのですが分かりません。
詳しい方おられましたらご教授お願いいたします。
前>>399
>>400
その値がまだsin18°だとわかる前のことでした。
sinx=(√5-1)/4という値を得ます。
少数にするんじゃない。
計算したら少数になったんだ。
少数にした者がいるとしたらそいつは神だ。数学の神様だ。 否という 自由ありけり 夏の果て 田中亜紀子 (津市)
中日新聞 (2017/Oct/02)
否否と 加齢や 雪の日の体温 池田澄子
否否否 百遍の否 鴃(モズ)きしる 井口時男
句集『天來の獨樂』 深夜叢書社 (2015/Oct) 2860円
sin18°の値として0.309016975……を覚えるぐらいなら
(√5-1)/4を覚える方がはるかに有益。
小数形だと全桁一致するか確かめることができないから、
18°と推測することはできても18°と言い切れないぞ。
一般にはexp(ix)が代数的でその最小多項式の次数dが決定した時
x∈πQ ⇔ ∃n φ(n)=d, nx∈2πZ ⇔ 2(d+1)!x ∈ 2πZ
