数列空間 l^2(R):={{x_n}_{n∈N}∈2^R|Σ(i=1,∞) (x_i)^2＜∞}に対して、normを
||x_n||:=√(Σ(i=1,∞) (x_i)^2)と定める
D_1(0)をl^2(R)内の中心0,半径1のDisk、
すなわち{{x_n}_{n∈N}∈l^2(R) | ||x_n||=1}
とする
このとき、{x_1,...,x_n}⊂D_1(0)に対して、||x_i-x_j||＞1/2 (1≦i＜j≦n) が成り立つと仮定する
l^2(R)は無限次元空間より
Y:=span{x_1,...,x_n}は真にl^2(R)に含まれる
したがって、∃x_{n+1}∈D_1(0) s.t.
dist(x_{n+1},Y)≧1/2から、
||x_i-x_j||≧1/2 (1≦i＜j≦n+1)が成り立つ
したがって数学的帰納法から
||x_i-x_j||≧1/2 (i≠j) なる無限列{x_n}_{n∈N}⊂D_1(0)が構成出来る...(1)
またここで、B:=Π{n∈N}[-1,1]∩l^2(R)
={{x_n}_{n∈N}∈l^2(R) | -1≦x_i≦1 ∀i∈N}
とおけば、チコノフの定理からBはコンパクトで、コンパクト集合の閉部分集合もコンパクトで、D_1(0)⊂Bから、D_1(0)もコンパクト
したがって(1)における{x_n}_{n∈N}は収束部分列を持ち、それを{x_{n_k}}_{k∈N}
とすれば、収束列はコーシー列より
i,j≧N_0⇒||x_{n_i}-x_{n_j}||≦1/3 なる自然数N_0が存在する
したがって(1)から1/3≧1/2より、2≧3
両辺2を引いて、0≧1
また、自然数の定義から1≧0より
1=0
うはっｗｗｗｗｗｗ
数学ぶっ壊したったｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
||x_n||:=√(Σ(i=1,∞) (x_i)^2)と定める
D_1(0)をl^2(R)内の中心0,半径1のDisk、
すなわち{{x_n}_{n∈N}∈l^2(R) | ||x_n||=1}
とする
このとき、{x_1,...,x_n}⊂D_1(0)に対して、||x_i-x_j||＞1/2 (1≦i＜j≦n) が成り立つと仮定する
l^2(R)は無限次元空間より
Y:=span{x_1,...,x_n}は真にl^2(R)に含まれる
したがって、∃x_{n+1}∈D_1(0) s.t.
dist(x_{n+1},Y)≧1/2から、
||x_i-x_j||≧1/2 (1≦i＜j≦n+1)が成り立つ
したがって数学的帰納法から
||x_i-x_j||≧1/2 (i≠j) なる無限列{x_n}_{n∈N}⊂D_1(0)が構成出来る...(1)
またここで、B:=Π{n∈N}[-1,1]∩l^2(R)
={{x_n}_{n∈N}∈l^2(R) | -1≦x_i≦1 ∀i∈N}
とおけば、チコノフの定理からBはコンパクトで、コンパクト集合の閉部分集合もコンパクトで、D_1(0)⊂Bから、D_1(0)もコンパクト
したがって(1)における{x_n}_{n∈N}は収束部分列を持ち、それを{x_{n_k}}_{k∈N}
とすれば、収束列はコーシー列より
i,j≧N_0⇒||x_{n_i}-x_{n_j}||≦1/3 なる自然数N_0が存在する
したがって(1)から1/3≧1/2より、2≧3
両辺2を引いて、0≧1
また、自然数の定義から1≧0より
1=0
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