b' = b_1 = (c_s c_t) (d_s d_t) ... または b' = b_2 = (c_s d_t) (c_t d_s) ...
となる。このとき表示されていない ... の部分は {c_s, c_t, d_s, d_t} を含まない。 積を X = bb' と置くと、>>91 の証明より b' = b_1 のとき X = b_2 で、b' = b_2 のとき X = b_1 である。 前者を考えると □(a b' c_s c_t)、□(a b' d_s d_t) を仮定して □(a b'' c_s d_t) かつ □(a b'' c_t d_s) を満たす b'' が存在することを証明すれば X = b'' となり G_a が群演算で閉じていることが示せる。 ところが △(a c_s d_t) >→ y および △(a c_t d_s) >→ z を満たす y と z は常に存在するので、あとは y = z が言えればよい。 a a △ a y →< △ →< a a >→ △ >→ z c_s d_t △ △ c_t d_s c_t b' d_s
より示せた。
95 :132人目の素数さん:2010/11/13(土) 00:36:53
最初クソスレかと思ったけど、段々おもしろくなってきた ガンバレ
96 :132人目の素数さん:2010/11/13(土) 00:50:14
以上より
|S| = n の基数集合 S 上に三角乗法 △ : S × S × S → S を定めたとき、 任意の a ∈ S に対して G_a ∋ b を b(c) = d ⇔ △(a, b, c) → d なるものとおけば、G_a は位数 n の群となる
となります。 なぜか d 軸方向と b 軸方向の断面が同じになり、 c 軸方向は >>143 の (S) と同じになります。 マトリックスは Da Db Dc の3つの断面を指定すれば 一意に決まっているので、 diagonal (D) と symmetric (S) は実は見る方向が 異なるだけで同じものだったということになります。
146 :132人目の素数さん:2011/02/05(土) 15:17:11
さて、以上の結果より、 b 軸方向から見たマトリックスと d 軸方向から見たマトリックスは同じ ということが言えました。 これは |S| = 3 の非退化3角乗法において b と d を入れ替えても同じ、ということを意味します。
>>136 のファインマン・ダイアグラムの表現を見ると、 b と d は反応後の2つの粒子となっています。 量子力学では、同種粒子が衝突した後、 どちらがどちらの粒子か区別がつかない という定理がありますが、上の結果はそれとうまく符合しています。
マトリックス自体は (D), (S), (D'), (S') で全て尽くされますが、 マトリックスのどの軸に a b c d 軸を割り当てるかによって
a △ >→ d b c
の表示の仕方が変わってきます。
いま便宜的に >>140 で表示された2次元断面を 横に b' 軸、縦に c' 軸、奥行きに d' 軸 をとった a' 軸の断面 a' = N1, N2, N3 と考えて軸をつけます。 また、 b' 軸 - d' 軸の向き替えをして b' 軸を奥行きと見た断面 (D)-b' c' 軸 - d' 軸の向き替えをして c' 軸を奥行きと見た断面 (D)-c' を並べて表示します。
154 :ぽ ◆bY48xjZ7JZEU :2011/03/05(土) 09:57:48.30
(D)-d' (D')-d' ^N1| 123 ^N2| 123 ^N3| 123 ^N1| 123 ^N2| 123 ^N3| 123 '─┼――b' ─┼――b' ─┼――b' ─┼――b' ─┼――b' ─┼――b' 1|132 1|213 1|321 1|123 1|312 1|231 2|213 2|321 2|132 2|312 2|231 2|123 3│321 3|132 3|213 3│231 3|123 3|312 c' . c' . c' . c' . c' . c'
(D)-b' (D')-b' ^N1| 123 ^N2| 123 ^N3| 123 ^N1| 123 ^N2| 123 ^N3| 123 '─┼――d' ─┼――d' ─┼――d' ─┼――d' ─┼――d' ─┼――d' 1|132 1|213 1|321 1|123 1|231 1|312 2|213 2|321 2|132 2|231 2|312 2|123 3│321 3|132 3|213 3│312 3|123 3|231 c' . c' . c' . c' . c' . c' .
(D)-c' (D')-c' ^N1| 123 ^N2| 123 ^N3| 123 ^N1| 123 ^N2| 123 ^N3| 123 '─┼――b' ─┼――b' ─┼――b' ─┼――b' ─┼――b' ─┼――b' 1|123 1|312 1|231 1|123 1|312 1|231 2|231 2|123 2|312 2|312 2|231 2|123 3│312 3|231 3|123 3│231 3|123 3|312 d' . d' . d' . d' . d' . d' .
バイト数オーバー(泣
155 :ぽ:2011/03/05(土) 09:58:12.94
つづき
(S)-d' (S')-d' ^N1| 123 ^N2| 123 ^N3| 123 ^N1| 123 ^N2| 123 ^N3| 123 '─┼――b' ─┼――b' ─┼――b' ─┼――b' ─┼――b' ─┼――b' 1|123 1|312 1|231 1|132 1|213 1|321 2|231 2|123 2|312 2|321 2|132 2|213 3│312 3|231 3|123 3│213 3|321 3|132 c' . c' . c' . c' . c' . c'
O (Odd) は b' 軸、c' 軸、d' 軸が等しく、a' 軸が異なる A (All) は全ての軸が等価
ここで O (Odd) に関しては、d = a' 軸の同定で mod 3 和になる。
O1 = S'-O1 = D-O1 = D'-O1 : a + b + c + 1 = d (mod 3) O2 = S'-O2 = D-O2 = D'-O2 : a + b + c + 2 = d (mod 3) O3 = S'-O3 = D-O3 = D'-O3 : a + b + c = d (mod 3)
以上より、数え上げると Odd, Even, S'-All があることが分かりました。
167 :132人目の素数さん:2011/03/05(土) 20:24:16.87
D-Even と S'-All に関して詳しく見ていきます。断面図再掲
(D)-d' (S')-d' ^N1| 123 ^N2| 123 ^N3| 123 ^N1| 123 ^N2| 123 ^N3| 123 '─┼――b' ─┼――b' ─┼――b' ─┼――b' ─┼――b' ─┼――b' 1|132 1|213 1|321 1|132 1|213 1|321 2|213 2|321 2|132 2|321 2|132 2|213 3│321 3|132 3|213 3│213 3|321 3|132 c' . c' . c' . c' . c' . c'
(D)-b' (S')-b' ^N1| 123 ^N2| 123 ^N3| 123 ^N1| 123 ^N2| 123 ^N3| 123 '─┼――d' ─┼――d' ─┼――d' ─┼――d' ─┼――d' ─┼――d' 1|132 1|213 1|321 1|132 1|213 1|321 2|213 2|321 2|132 2|321 2|132 2|213 3│321 3|132 3|213 3│213 3|321 3|132 c' . c' . c' . c' . c' . c'
(D)-c' (S')-c' ^N1| 123 ^N2| 123 ^N3| 123 ^N1| 123 ^N2| 123 ^N3| 123 '─┼――b' ─┼――b' ─┼――b' ─┼――b' ─┼――b' ─┼――b' 1|123 1|312 1|231 1|132 1|213 1|321 2|231 2|123 2|312 2|321 2|132 2|213 3│312 3|231 3|123 3│213 3|321 3|132 d' . d' . d' . d' . d' . d'